Teorema Fundamental Del Calculo

INTEGRAL INDEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

RESOLUCIÓN DE INTEGRALES INDEFINIDAS POR SUS DISTINTOS MÉTODOS

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

GRUPO 102-B

BRENDA XITLALY LÓPEZ SÁNCHEZ

23 DE FEBRERO DE 2013

ÍNDICE

Introducción………………………………………………………………….………....2

Integrales indefinidas directas............................................................................3

Integrales indefinidas con cambio de variables………………….…………....…3

Integrales indefinidas trigonométricas……………………………………...……..4

Integrales indefinidas por partes........................................................................5

Integrales indefinidas por sustitución trigonométricas……….…….……….…6

Primer caso………………………………………………………………………….….6

Segundo caso………………………………………………………………………….6

Tercer caso……………………………………………………………………………..6

Integrales indefinidas por fracciones parciales................................................7

Primer caso….……………………………………………………………………….…7

Segundo caso………………………………………………………………………….8

Tercer caso………………………………………………………………………….….8

Cuarto caso………………………………………………………………………….….9

Conclusión………………………………………………….………………………….10

Fuente de referencia………………………………………..……………………..….11

INTRODUCCIÓN

En esta unidad aprenderemos como resolver integrales indefinidas directas, con cambio de variable, trigonométricas, por partes, por sustitución trigonométrica y por fracciones parciales.

Las integrales indefinidas son todas aquellas que no están definidas dentro de un intervalo dado, es decir, es el conjunto de indefinidas primitivas que puede tener una función, se representa por ∫▒〖f(x)〗dx y se lee integral de x diferencial de x y para comprobar que la primitiva de la función es correcta solo basta con derivar.

Una consecuencia directa del teorema fundamental del cálculo es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

INTEGRALES INDEFINIDAS DIRECTAS

1.-∫▒〖(3x^3-5x^2+3x+4)dx=3 x^4/4-5 x^3/3+3 x^2/2+4x+c〗

2.-∫▒〖(√x〗-2)dx=2/3 x√x-2x+c

3.-∫▒〖(4x+3)^2 〗 dx=∫▒〖1/4 4(4x+3)^2 dx〗=1/12(4x+3)^3+c

4.- ∫▒〖2/√x dx=4√x〗+c

5.- ∫▒〖(4x+2)(x-1)dx=∫▒〖(4x^2-2x-2)dx=(4x^3)/3-x^2-2x+c〗〗

INTEGRALES INDEFINIDAS CON CAMBIO DE VARIABLE

1.-∫▒sin⁡〖x cos⁡〖x dx=(〖sen〗^2 x)/2〗 〗 +c

sin⁡〖x=t□(⇒┬ ) cos⁡〖x dx=dt〗 〗

∫▒〖t dt=t^2/2+c=(sen^2 x)/2〗+c

2.- ∫▒〖2xe^(x^2 ) 〗 dx=e^(x^2 )+c

x^2=t□(⇒┬ ) 2x dx=dt

3.- ∫▒〖(x^2-x-1)^3 (2x-1)dx=((x^2-x-1)^4)/4+c〗

(x^2-x-1)=t□(⇒┬ ) (2x-1)dx=dt

4.- ∫▒dx/((x-1))

(x-1)=t□(⇒┬ ) dx=dt

∫▒〖dt/t^2 =∫▒〖t^(-2) dt〗=t^(-1)/(-1)=-1/t+c=-1/((x-1) )+c〗

5.-∫▒〖xe^(7x^2 ) dx〗

7x^2=u□(⇒┬ ) 14x dx=du

∫▒〖xe^u du/14x〗

∫▒〖〖e/14〗^u du〗

1/14 ∫▒〖e^u du〗

1/14 e^u=1/14 e^(7x^2 )+c

INTEGRALES INDEFINIDAS TRIGONOMÉTRICAS

1.-∫▒〖cos⁡(3x)dx〗

3x=u□(⇒┬ ) dx= du/3

∫▒cos⁡〖u du/3=∫▒〖cos⁡u/3 du=1/3 ∫▒〖ccos u du=1/3 [sen u]+c=1/3 sen 3x+c〗〗〗

2.- ∫▒〖x^3 cos⁡(x^4+2)dx〗

x^4+2=u□(⇒┬ ) dx= du/(4x^3 )

∫▒〖x^3 cos⁡〖u du/(4x^3 )=∫▒〖cos⁡〖u du/4〗=1/4 ∫▒〖cos⁡〖u du=1/4 [sen u]+c〗=(sen (x^4+2))/4+c〗〗〗 〗

3.- ∫▒dx/(x+√x)

√x=u; 〖(√x)〗^2=u^2;x=u^2 □(⇒┬ ) dx=2u du

∫▒〖(2u du)/(u^2+u)=2∫▒〖(u du)/(u(u+1))=2∫▒〖du/(u+1)=2 ln⁡|├ u+1┤|+c=2 ln⁡|├ √x+1┤|+c┤ ┤ 〗〗〗

4.- cos^3⁡x/(sen^4 x) dx

∫▒(〖(cos〗^2 x)(cos⁡〖x)〗)/(sen^4 x) dx=∫▒((1-sen^2 x)(cos⁡〖x dx)〗)/(sen^4 x)

sen x=t□(⇒┬ ) cos⁡〖x dx=dt〗

∫▒〖((1-t^2))/t^4 dt〗=∫▒〖dt/t^4 -∫▒〖dt/t^2 =-1/(3t^3 )+1/t=-1/(3sen^3 x)+1/(sen x)+c〗〗

5.- ∫▒█((sen 5x)/5 dx@)

5x=u□(⇒┬ ) dx= du/5

∫▒(sen u)/5 du/5=∫▒〖(sen u)/25 du=1/25 ∫▒〖sen u du=-cos⁡u/25+c〗=-cos⁡5x/25+c〗

INTEGRALES INDEFINIDAS POR PARTES

1.-∫▒xsenxdx

x=u □(⇒┬ ) dx=du;dv=sen x dx□(⇒┬ v=∫▒〖sen x dx=-cos⁡x 〗)

∫▒〖u dv=u v- ∫▒〖v du=∫▒〖x senx dx=x 〖(-cos〗⁡〖x)-∫▒〖-cosx dx〗〗 〗〗〗

∫▒〖x sen x dx=-xcosx+∫▒〖cos 〗⁡〖x dx=-x cos⁡x+sen x+c〗 〗

2.-∫▒〖xe^2x dx〗

u=x□(⇒┬ ) du=dx ;dv=e^2x □(⇒┬ ∫▒〖e^2x dx=e^2x 〗)

∫▒〖u dv=u v- ∫▒〖v du=∫▒〖x e^2x=x〖 e〗^2x-∫▒〖〖 e〗^2x dx〗〗〗〗=〖x e〗^2x-〖 e〗^2x+c

3.-∫▒〖xsen 4xdx〗

u=x□(⇒┬ du=dx ;dv=sen 4x dx □(⇒┬ )) v=∫▒〖cos 4x dx〗

∫▒〖u dv=u v- ∫▒〖v du=∫▒〖x sen 4x dx=xsen 4x-∫▒〖sen 4xdx=x sen 4x+cos⁡〖4x+c〗 〗〗〗〗

4.-∫▒〖e^x cos⁡xdx 〗

u=e^x □(⇒┬ ) du=e^x dx ;v=senx □(⇒┬ dv=cos⁡〖x dx〗 )

∫▒〖e^x cos x dx=(e^x )(sen x)-∫▒〖e^x sen x dx=∫▒〖e^x cos⁡〖x dx=e^x senx-∫▒〖e^x sen x dx〗〗 〗〗〗

Desintegramos la última integral.

u=e^x □(⇒┬ ) du=e^x dx ;v=-cos⁡x □(⇒┬ dv=sen x dx)

∫▒〖e^x sen x dx=〖(e〗^x)(-cos⁡〖x)-∫▒〖-cos⁡〖x (e^x )dx=-e^x

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