Teorema Fundamental Del Calculo

Teorema fundamental de Cálculo Integral

Introducción

En muchas aplicaciones del Cálculo integral es preferible definir la integración como un procedimiento de suma.

De hecho, el cálculo integral se inventó con el fin de calcular el área de las superficies limitadas por curvas, suponiéndose la superficie dada dividida en “un número infinito de partes infinitamente pequeñas que se llamaban elementos, siendo la suma de las áreas de todos estos elementos el área buscada”.

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función a integrar.

Regla para aplicar el Teorema Fundamental

Primer paso.- Se divide la magnitud buscada en partes semejantes de manera que sea claro que el resultado deseado se encuentra tomando el límite de una suma de esas partes.

Segundo paso. Para las magnitudes de estas partes se hallan expresiones tales que su suma sea de la forma

∑_(i=1)^n▒〖∅ (〖x´〗_i)∆x_i 〗

Tercer paso.- Elegidos los límites apropiados, x=a y x=b, se aplica el teorema fundamental.

lim┬(n→∞)⁡〖∑_(i=1)^n▒〖∅ (x_i ) 〗 ∆x_i=〗 ∫_a^b▒∅ (x)dx

y se integra.

Demostración analítica del teorema fundamental.- Se divide el intervalo desde x=a hasta x=b en cualquier número n de subintervalos, que no necesitan ser iguales, y representemos las abscisas de los puntos de división por

b1, b2,…, bn-1,

y las longtudes de los subintervalos por ∆x_1,∆x_2,… ,∆x_n. Hagamos ahora que x´1, x´2, … , x´n representen abscisas, una en cada intervalo, determinadas por el teorema del valor medio; levantemos las ordenadas en los extremos de estas abscisas y tracemos por los extremos de las ordenadas líneas horizontales para fomrar rectángulos, como se indica en la figura siguiente

Obsérvese que ∅(x) reemplaza a f´(x). Aplicando (f(b)-f(a))/(b-a)=f´(x_1 ) al primer intervalo (a=a, b=b1 y x´1 está entre a y b1), tenemos (f(b_1 )-f(a))/(b_1-a)=∅(〖x´〗_1 ), o sea, puesto que b_1-a=∆x_1,

f(b_1 )-f(a)=∅(〖x´〗_1)∆x_1

Igualmente,

f(b_2 )-f(b_1 )=∅(〖x´〗_2 )∆x_2, para el segundo intervalo,

f(b_3 )-f(b_2 )=∅(〖x´〗_3 )∆x_3,para el terecer intervalo,

. . . . . . . . . .

f(b)-f(b_(n-1) )=∅(〖x´〗_n )∆x_n,para el enésimo intervalo,

Sumando éstos, obtenemos

(1) f(b)-f(a)=∅(〖x´〗_n1 )∆x_1+∅(〖x´〗_2

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