El Teorema Fundamental Del Calculo

Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo, como su nombre lo indica es un importante resultado que relaciona el Cálculo Diferencial con el Cálculo Integral.

El teorema nos dice que la derivación y la integración son operaciones inversas, en forma parecida a como son la división y la multiplicación. Los procesos de límite, usados para definir la derivada y la integral conservan esta relación de inversas.

El teorema es fundamental era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial, el cual se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en siglo XVlll y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia amabas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del área bajo una función estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones, segundo teorema fundamental de cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

La relación entre estos dos procesos es de algún modo, análoga a la que hay entre elevar al cuadrado y la raíz cuadrada. Si elevamos al cuadrado un número positivo y después tomamos la raíz cuadrada del resultado, obtenemos el número original. De igual modo, si integramos una función continua obtenemos una nueva función (una integral indefinida f) y si diferenciamos esta función obtenemos la función original.

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y F es una primitiva de f en [a,b], entonces

∫ baf (x) dx = F(b)−F(a)

Teorema Fundamental del Cálculo, Primera Parte

Si es continua en , la función está definida por:

Es continua en

Y derivable en:

Y

DEMOSTRACIÓN

Si y están en , entonces:

Ecuación 2

Y así, cuando ,

Suponemos que

,

Dado es continua

Usando el teorema del Valor Extremo dice que hay números, y en , tales que y , en donde y son los valores mínimo y máximo absolutos de en .

De acuerdo con la propiedad 8 de Integrales,

Es decir,

Como , podemos dividir esta desigualdad entre :

Ahora emplearemos la ecuación 2 y uniéndola con la ecuación anterior obtendremos:

Ecuación 3

Ahora hacemos que

.

Entonces:

y

.

Como y existen entre y , decimos que:

...