Teorema Fundamental Del Calculo

INTRODUCCION

El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.

Cuando uno llega por primera vez al inicio de este teorema ya ha intuido una relación entre el cálculo diferencial e integral. Uno creería que no hay relación ya que como el primero es pendiente de la recta tangente y el segundo área bajo la curva. Pero de hecho hay una relación muy intima, que fue descubierta independientemente por Isaac Newton (1630-1677) y Gottfried Leibniz (1646-1716) el cual recibe el nombre del teorema fundamental del cálculo. En particular, ellos advirtieron que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas. Informalmente se puede decir también que el teorema afirma que la derivación y la integración con operaciones mutuamente inversas. Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

La Integración es el proceso inverso de la derivada, por el cual se llega a la función original, ya que no hay una fórmula matemática precisa para llegar a la función original. El cambio de variable para realizar una integral consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

 PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Este primer Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que toda función continua tiene una anti derivada y nos muestra cómo construir una usando una integral indefinida. Incluso funciones no diferenciables con esquinas, tales como el valor absoluto tienen una anti derivada.

Sea f una función integrable en [a, b], y definimos una nueva función F en [a, b] por:

Si c pertenece a [a, b] y f es continua en c, entonces F es diferenciable en c, y

Una demostración visual bien conocida asume que la función f es continua en un entorno del punto. Si c es un punto de (a, b), mirando la imagen podemos aceptar que:

Si h es suficientemente pequeño (o podemos usar un teorema de valor intermedio, para ser más precisos),

Dividiendo entre h:

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