Teoria Del Limite Central

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes, entonces la función de distribución de Sn se aproxima bien a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.

Definición

Sea la función de densidad de la distribución normal definida como1

con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad es , a la distribución se le conoce como normal estándar.

Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):

de manera que, la media de Sn es n•µ y la varianza n•σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Zn convergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

29 de Agosto del 2011

Enunciado formal

De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es

Teorema del límite central: Sea X1, X2, ..., Xn un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza σ2 distinta de cero. Sea

Entonces

Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada Zn en función de la media muestral , puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no normalizadas como puede ser:

Teorema (del límite central): Sea X1, X2, ..., Xn un conjunto de variables aleatoria, independientes e idénticamente distribuidas de una distribución con media μ y varianza σ2≠0. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria

tiene aproximadamente una distribución normal con y .

• Propiedades

El teorema del límite central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande.

• Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las 28/08/2011variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.

• La

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