Teoría de el error

1. TEORÍA DEL ERROR

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniería. También deben ser lo suficientemente preciso para ser adecuados al diseño de la ingeniería.

En estas notas se usara el término error para representar tanto la inexactitud como la imprecisión en los cálculos numéricos en las imprecisiones. Con dichos conceptos como antecedentes, ahora analizaremos los factores que contribuyen al error.

1. TIPO DE ERRORES

1. EXPERIMENTALES: Proviene de los datos o equivocaciones aritméticas en el cálculo manual.
2. DE TRUNCAMIENTO (CORTE): Representa la diferencia entre una formulación matemática exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico.
3. REDONDEO: Se debe a que una máquina sólo puede representar cantidades con un número finito de dígitos.

Existen dos maneras de representarlos:

1. Punto fijo: Los números se representan con un número fijo de cifras decimales. Ej. 62.358, 0.013.
2. Punto flotante: Los números se representan con un número fijo de dígitos significativos.

Dígito Significativo: De un número “C”; es cualquier dígito dado de este, excepto posiblemente aquellos ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero y que solo sirven para fijar la posición del punto decimal (entonces cualquier otro cero es un dígito significativo de C), Ej. 1360, 1.360; 0.001360; tiene cuatro dígitos significativos.

1. EXACTITUD: Se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.
2. PRECISIÓN

1. Número De cifras significativas que representan una cantidad.
2. La extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física.

1. ERROR ABSOLUTO

Se da cuando se aproxima el valor real con un valor aproximado

[pic 1]         Donde [pic 2]

                        [pic 3] 

1. ERROR RELATIVO PORCENTUAL

Suele ser un mejor indicador de la precisión, es más independiente de la escala usada, y esto es una propiedad más que deseable.

[pic 4]

Ejemplo

Planteamiento del problema: Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9999 y 9 cms respectivamente.

Solución:

El error absoluto en la medición del puente es:  [pic 5]

Y para el remache es   [pic 6]

El error relativo porcentual en la medición del puente es [pic 7]

Y para el remache es  [pic 8]

[pic 9]

Aquí observamos que el error absoluto es el mismo en las dos mediciones y si no se tiene la magnitud de la cantidad que se esta midiendo no podríamos dar ninguna conclusión; pero al conocer esta magnitud podemos observar que en la medición del remache se genero un error muy grande.

En las mediciones científicas  es usualmente el error relativo el que resulta relevante. La información acerca del error absoluto suele ser poco útil si no se conoce la magnitud de la cantidad que se esta  midiendo; por esta razón es importante el error normalizado que se define como sigue:

1. ERROR NORMALIZADO PORCENTUAL

En situaciones reales a veces es difícil contar con el valor verdadero, para dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor estimacion posible al valor verdadero; es decir. Para la aproximación misma.

[pic 10]

Corrección                [pic 11]

Valor verdadero        [pic 12]        Aproximación + Corrección

Cota de error para a es un número [pic 13] es decir [pic 14]

A menudo cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error sino mas bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada.

1. TOLERANCIA

[pic 15]  Donde n es el número de cifras significativas

En el momento en que se realizan las aproximaciones y se cumpla que .

[pic 16]  si se conoce el valor real

[pic 17]  si no se conoce el valor real

Se garantizan “ n “ cifras significativas.

SERIES DE TAYLOR

EJEMPLO 1

• Encuentre el polinomio de grado 2, que cumple   [pic 18]     [pic 19]    [pic 20], entonces si seguimos la observación anterior, llegamos a:

[pic 21]

Vemos

[pic 22]

Es fácil ver que  [pic 23]  cumple las condiciones iniciales.

Al hacer el mismo análisis para un polinomio de grado [pic 24] llegamos a:

[pic 25]

En general, esto sigue para cualquier polinomio, la ventaja de esto es que a partir de cierta derivada el crecimiento es cero.

Pensemos en el caso, que no sea un polinomio, por ejemplo    [pic 26]   es fácil justificar que esta función NO  es un polinomio, ahora como a partir de ningún crecimiento se vuelve cero, este proceso lo debemos extender hasta “infinito” así:

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