Tercera Unidad Metrologia Optica

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE LAS CHOAPAS

INGENIERÍA INDUSTRIAL

NOMBRE DEL ALUMNO: JOSE DE JESUS CALDERÓN MARTINEZ

NOMBRE DEL MAESTRO: ING. OSCAR MARTINEZ ANTONIO

TRABAJO: INVESTIGACIÓN DE LA SEGUNDA UNIDAD

SEGUNDO SEMESTRE

MATERIA: ÁLGEBRA LINEAL

INDICE

INTRODUCCIÓN 3

UNIDAD 2 4

MATRICES Y DETRMINATES 4

2.1.- DEFINICIÓN DE MATRICES 4

2.2 OPERACIONES CON MATRICES 6

2.3 CLASIFICACIÓN DE MATRICES 10

2.3.1 Matrices Cuadradas 10

2.3.2 Matrices Triangulares 11

2.3.3 Matices Escalar 14

2.3.4 Matrices unitarias 14

2.3.5 Matrices Nula 15

2.3.6 Matrices Traspuestas 15

2.4 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLON.ESCALONAMIENTO DE UNA MATRIZ, RANGO DE UNA MATRIZ 16

2.4.1 Rango de una matiz 17

2.4.2 Matriz Escalonada 19

2.4.3 No es escalonada 19

2.5 CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 22

2.6 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 24

2.7 PROPIEDADES DE LOS DETERMINATES 26

2.8 INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA ATRAVÉS DE LA ADJUNTA 27

2.9 APLICACIÓN DE MATRICES Y DETERMINATES 29

BIBLIOGRAFÌA 30

INTRODUCCIÓN

El álgebra lineal es una herramienta de las matemáticas que se usa en el manejo de arreglos matriciales; dichos arreglos son trabajados de muchas maneras en la vida diaria como puede ser en el desarrollo de proyectos del área de control analógico o de control digital, en buscar incógnitas para resolver ecuaciones lineales muy grandes con n incógnitas.

En esta investigación de la unidad 2 lleva por título matrices y determinantes tiene que ver con la forma en que se pueden trabajar los arreglos matriciales, los diferentes tipos de matrices que existen y las diferentes operaciones matemáticas que se pueden realizar con ellas, el uso y trabajo con determinantes y su aplicación en la resolución de ejercicios y problemas.

UNIDAD II MATRICES Y DETRMINATES

2.1.- DEFINICIÓN DE MATRICES

En matemáticas, una matriz se puede definir como una tabla de números consistente en cantidades abstractas, con las cuales pueden realizarse operaciones algebraicas como la suma y la multiplicación. Las matrices se ocupan para describir sistemas de ecuaciones lineales, llevar a cabo un seguimiento de coeficientes para una aplicación lineal y para registrar una tabla de datos que dependen de varios parámetros. Las matrices son descritas en un campo denominado teoría de matrices.

Con las matrices pueden efectuarse operaciones algebraicas diferentes o descomponerse de varias maneras, lo cual las convierte en un punto clave dentro del álgebra lineal. “Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos o también llamados elementos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados enfilas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m × n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se deben dar en el siguiente orden: con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices son iguales si se cumple la siguiente regla: son del mismo orden y tienen los mismos elementos.” “Al elemento o dato de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i, j o elemento (i, j)-iésimo de la matriz”. Adviértase que se cumple el orden descrito, colocar primero las filas y después las columnas.

“Comúnmente, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos o datos pertenecientes a las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai, j o a [i, j]”.

“Notaciones alternativas son A [i, j] o Ai, j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, otra forma de poder representar a las matrices es mediante el uso de fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar”.

“Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada elemento en la matriz A [i, j] llamada ai, j para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene

0≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n – 1”.

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“Una matriz que contenga una sola columna o que solamente tenga una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna”

La matriz

1 2 3

A= 1 2 7

4 9 2

6 0 5

Es una matriz 4x3. El elemento A [2,3] o a es 7.

La matriz

R= 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2.2 OPERACIONES CON MATRICES

Suma o adición

“Dadas matrices iguales en filas y columnas m-por-n, sean A y B, su suma A +B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes afilas y columnas respectivamente. (y.i (A + B) [i, j] = A [i, j] + B [i, j]). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar” Por ejemplo:

Propiedades

• Asociativa

Dadas las matrices m por n A, B y C”

A + (B + C) = (A + B) + C

• “Conmutativa

Dadas las matrices m por n A y B

A + B = B + A

• Existencia de matriz cero o matriz nula”

A + 0 = 0 + A = A

• Existencia de matriz opuesta

Con gr-A = [-ai, j]

A + (-A) = 0

Producto por un escalar

Cuando se da una “matriz A y un escalar numérico c, su producto cA se calcula multiplicando el valor numérico escalar por cada elemento de la

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