Trabajo Colaborativo Calculo

TRABAJO APORTE INDIVIDUAL

JOHN ALEXANDER GUTIERREZ GARCIA

Calculo integral

100411_212

Ingeniero

JAVIER FERNANDO MELO

Tutor

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD

Noviembre 2014

EJERCICIOS

Hallar el área sustituida entra las curvas y=x-1 y y=2x^3-1 entre x=1 y x=2

Para poder plantear la ecuación de la integral primero graficamos las funciones.

Tabla de valores

Y=x-1

x f(x)

1,0 0

1,1 0,1

1,2 0,2

1,3 0,3

1,4 0,4

1,5 0,5

1,6 0,6

1,7 0,7

1,8 0,8

1,9 0,9

2,0 1

y=2x^3 -1

x f(x)

1,0 1

1,1 1,662

1,2 2,456

1,3 3,394

1,4 4,488

1,5 5,75

1,6 7,192

1,7 8,826

1,8 10,664

1,9 12,718

2,0 15

Vemos que el área entre las funciones

∫_1^2▒〖((2x^3 〗-1)-(x-1))dx

∫_1^2▒〖(2x^3 〗-1-x+1))dx

∫_1^2▒〖(2x^3 〗-x)dx

⌈(2x^4)/4-x^2/2⌉_1^2

⌈x^4/2-x^2/2⌉_1^2

(2^4/2-2^2/2)-(1^4/2-1^2/2)=(8-2-0)=6unidades cuadradas

Hallar el área de la región limitada para las graficas de f(x)=x^3-3x+2 y g(x)=x+2

Igualamos las funciones para encontrar los puntos de intersección entre las curvas.

〖f(x)=x〗^3-3x+2 g(x)=x+2

x^3-3x+2 =x+2

x^3-3x+2-x-2=0

x^3-4x=0

Factorizando:

〖x(x〗^2-4)=0

x=0 x=2 x=-2

Analizamos las funciones entre x=-2 y x=2

〖f(x)=x〗^3-3x+2

Tabla de valores

x f(x)

-2,00 0

-1,75 1,8906

-1,50 3,125

-1,25 3,7969

-1,00 4

-0,75 3,8281

-0,50 3,375

-0,25 2,7344

0,00 2

0,25 1,2656

0,50 0,625

0,75 0,1719

1,00 0

1,25 0,2031

1,50 0,875

1,75 2,1094

2,00 4

g(x)=x+2

x f(x)

-2,00 0

-1,75 0,25

-1,50 0,5

-1,25 0,75

-1,00 1

-0,75 1,25

-0,50 1,5

-0,25 1,75

0,00 2

0,25 2,25

0,50 2,5

0,75 2,75

1,00 3

1,25 3,25

1,50 3,5

1,75 3,75

2,00 4

Grafica

Vemos que hay simetría en las áreas entre las 2 regiones por lo cual podemos calcular el área de una sola región por dos.

2∫_(-2)^0▒〖((x^3-3x+2 )–(x+2〗))dx

2∫_(-2)^0▒(x^3-4x)dx

〖2⌈x^4/4-〖4x〗^2/2⌉〗_(-2)^0

2[(0^4/4-2.0)-(〖-2〗^4/4-2(〖-2〗^2 ))┤

area=2x4=8 unidades de superficie.

3. La región limitada por la gráfica de y = x 3 , el eje X y x = 1 / 2 se gira alrededor del eje x.

Hallar el área de la superficie lateral del sólido resultante

4. Hallar la longitud de la curva cos⁡〖(x)=e^y 〗 para x entre π/6 y π/3

De la formula: L=∫_a^b▒√(1+[f^' (x)]^2 ) dx

por propiedades de Logaritmo natural

〖ln⁡(e〗^x)=x

logaritmo natural en ambos lados de la ecuación:

cos⁡〖(x)=e^y 〗

ln⁡〖(cos〗⁡〖(x))=〗 ln⁡〖e^y 〗

ln⁡〖(cos〗⁡〖(x))=〗 y

f(x)=ln⁡(cos⁡(x))

Derivamos f(x)

d/dx (ln⁡(x) )=1/x x'

d/dx ln⁡(cos⁡(x) )=1/cos⁡x (-sin⁡x)

f^' (x)=(-sin⁡x)/cos⁡x =-tan⁡x dx

Reemplacemos en la formula:

L=∫_(π/6)^(π/3)▒√(1+[-tan⁡x ]^2 ) dx

L=∫_(π/6)^(π/3)▒√(1+tan^2⁡x ) dx

Por propiedades trigonométricas:

sec⁡θ=√(1+tan^2⁡θ )

L=∫_(π/6)^(π/3)▒sec⁡x dx

Integremos por propiedades:

L=[ln⁡(sec⁡x )+tan⁡x ]_(π/6)^(π/3)

Evaluando:

L=(ln⁡(sec⁡〖π/3〗 )+tan⁡〖π/3〗 )-(ln⁡(sec⁡〖π/6〗 )+tan⁡〖π/6〗 )

La longitud de la curva es de L=1,704

Hallar

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