Trabajo Coñaborativo 1 Fisica De Semionductores

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

TRABAJO COLABORATIVO 1

FISICA DE SEMICONDUCTORES

ELABORADO POR:

PRESENTADO AL INGENIERO:

ANDRES FELIPE TARAZONA

299002_28

Septiembre- 2010

1. MARCO TEORICO

Ecuación de Schrollenger.

Con la ecuación de Schrollenger se puede obtener la amplitud de campo o función de onda Ψ para cada problema dinámico. Evidentemente la función de onda debe de pender del estado dinámico de la partícula. Este estado dinámico está caracterizado por las fuerzas que actúan sobre la partícula y por la energía total de la misma. Pero si las fuerzas son conservativas, la energía potencial E_p (x) de la partícula determina su movimiento. Por consiguiente, debemos esperar que la función de onda Ψ(x) dependa en algún modo de la energía potencial y de la energía total, E=p^2/(2m+E_p (x)) de la partícula. En efecto, la regla para encontrar Ψ(x) se expresa en la forma de una ecuación diferencial, llamada ecuación de Schrollenger, la cual, fue formulada en 1926 por el físico Alemán Erwin Schrollenger (1887-1961). Esta ecuación para problemas en una sola dimensión es:

(d^2 Ψ)/(dx^2 )+2m/ℏ^2 [E〖-E〗_p (x) ]Ψ=0

(1)

Donde m es la masa de la partícula. La ecuación de Schrollenger es tan fundamental para la mecánica cuántica

como la ecuación de Newton F=dp/dt lo es para la mecánica clásica o las ecuaciones de Maxwell lo son para el electromagnetismo. Evidentemente, las soluciones de la ecuación (1) dependen de la forma de la energía potencial E_p (x)

En el caso de una partícula libre, la energía potencial es cero E_p (x)=0 y la ecuación se convierte en:

(d^2 Ψ)/(dx^2 )+2mE/ℏ^2 Ψ=0

(2)

Pero para una partícula libre E=p^2/2m, la cual, haciendo p=ℏk, donde k es el número de onda, tenemos E=〖ℏ^2 k〗^2/2m, entonces la ecuación (2) se convierte en:

(d^2 Ψ)/(dx^2 )+k^2 Ψ=0

(3)

Que es idéntica a la ecuación de la amplitud de ondas estacionarias con una longitud de onda λ=2π/k=h/p. Esta ecuación se verifica por ejemplo para la amplitud de ondas estacionarias en una cuerda o en una columna gaseosa, o la de las ondas electromagnéticas atrapadas en una cavidad.

Solucionando la ecuación diferencial (3), tenemos entonces dos resultados:

Ψ(x)=e^ikx y Ψ(x)=e^(-ikx) (5)

La función de onda Ψ(x)=e^ikx, representa una partícula libre de momentum p=ℏk y energía E=p^2/2m=〖ℏ^2 k〗^2/2m moviéndose en la dirección +X, y la función de onda Ψ(x)=e^(-ikx) representa una partícula libre con el mismo momentum y

energía pero moviéndose en dirección opuesta –X.

La solución general de la ecuación (3) se puede escribir como una combinación lineal de las dos soluciones, esto es,

Ψ(x)=Ae^ikx+Be^(-ikx)

(4)

Esta función de onda no corresponde a una dirección preferencial del movimiento, sino que es la superposición de las soluciones para el movimiento en las direcciones +X y –X. Esta es la misma solución ya encontrada para las ondas estacionarias, (recuérdese por ejemplo que las ondas estacionarias en una cuerda resultan de la superposición de ondas que se propagan en ambas direcciones y se reflejan en los extremos fijos).

Obsérvese que la ecuación (5) da:

|Ψ(x)|^2=Ψ^' (x)Ψ(x)=e^ikx*e^(-ikx)=1

(5)

El hacho de que la ecuación (5) de uno, o sea, una constante, significa que la probabilidad de encontrar la partícula es la misma en cualquier punto. En otras palabras Ψ(x)=e^(±ikx) describe una situación en la cual carecemos por completo de información acerca de la posición. Esto está de acuerdo con el principio de indeterminación, porque Ψ(x)=e^(±ikx) describe una partícula cuyo momentum p=ℏk conocemos con precisión, esto es Δp=0, lo cual requiere que Δx→∞. Por lo tanto, para obtener información acerca de la posición de una partícula localizada dentro de una región Δx, debemos superponer varias soluciones de la forma Ae^ikx con valores diferentes de k o p, y con amplitud apreciable A en un intervalo Δk o Δp; esto es, debemos formar un paquete de ondas. Este paquete de ondas se puede expresar en la forma:

Ψ(x)=∫▒A(k) e^ikx dk

(6)

Donde A(k) es la amplitud correspondiente al momentum p=ℏk.

La ecuación de Schrollenger (2) describe una partícula que se mueve en línea recta (movimiento en una dimensión). Para una partícula que se mueve en el espacio, la ecuación se convierte en:

[(∂^2 Ψ)/(∂x^2 )+(∂^2 Ψ)/(∂y^2 )+(∂^2 Ψ)/(∂z^2 )]+2mE/ℏ^2 Ψ=0

(7)

La solución de esta ecuación que describe a una partícula libre con momentum p=ℏk y energía E=〖ℏ^2 k〗^2/2m, es:

〖Ψ=e〗^ikr

(8)

Molécula de hidrógenos ionizada.

La más simple de todas las moléculas es el ion H_2^+, o molécula de hidrógeno ionizada, el cual, está formado por dos protones y un electrón. Los químicos describen la constitución de esta molécula en la forma H+H_^+→H_2^+ , donde H_^+ es simplemente un protón. En otras palabras, la molécula H_2^+ se forma cuando un átomo de hidrógeno camtura un protón. Pero una vez formada la molécula H_2^+ ya no es posible decir cuál es el átomo de hidrógeno y cuál es el protón. En la figura 1 se muestra una imagen de dicha molécula. Un electrón moviéndose en el campo eléctrico de dos protones que están a una distancia r.

Figura 1 (El ion H_2^+ de la molécula de hidrógeno)

Podríamos decir que el electrón no recuerda a qué protón pertenecía inicialmente. Las colisiones con intercambio de carga revelan claramente esta falta de memoria. Supongamos que el electrón está asociado inicialmente con el protón p1 y que el protón p2 se aproxima por la derecha al átomo de hidrógeno viniendo de una gran distancia. En la región de máxima aproximación, la molécula H_2^+ dura solo un tiempo corto y luego se rompe. Cuando esto ocurre hay una cierta probabilidad de que el protón incidente se lleve consigo el lectrón. Se puede entonces escribir el proceso en la forma:

H_^++H (colisión elástica)

↗

H+H_^+→H_2^+

↘

H+H_^+ (colisión con intercambio de carga)

Es posible calcular la probabilidad relativa de estos dos procesos en función de la energía del protón incidente. El resultado está de acuerdo con la evidencia experimental.

Para discutir los

...