Trabajo De Logica

Lógica deóntica

La lógica deóntica es un tipo de lógica modal usada para analizar formalmente las normas o las proposiciones que tratan acerca de las normas.

Introducción[

Normas son, por ejemplo, los significados de las siguientes frases : "¡te ordeno que te calles, grosero!", "prohibido el paso; perro agresivo puede atacar", "todo ser humano es libre de expresar su pensamiento".

• A partir del operador O que significa "obligatorio" es posible calificar actos o proposiciones como obligatorios. Por ejemplo, el acto "pagar impuestos" que representaremos con el símbolo p, puede ser obligatorio: Op. O bien, la proposición "los impuestos se pagan" cuyo símbolo será p*, puede ser obligatoria: Op*. Algunos lógicos piensan que las normas resultantes no son ni verdaderas ni falsas, sino válidas o inválidas.

• A partir del operador de obligación y de la negación lógica (que se escribe ¬) es posible definir los operadores de prohibición (Ph) y de permisión (P):

Op ≡ Ph¬p ≡ ¬P¬p

Lo anterior se lee: "(Obligatorio p) si y solamente si (prohibido no p) si y solamente si (no permitido no p)".

• Pérdida de significado

La lógica deóntica estándar expresaría los ejemplos dados antes a través del lenguaje simplificado que acabamos de mencionar, aunque cierta información o matiz se pierdan: "¡te ordeno que te calles, grosero!" se expresaría diciendo simplemente "obligatorio callarse" u "obligatorio que haya silencio"; "prohibido el paso; perro agresivo puede atacar" se expresaría diciendo "prohibida la conducta de entrar" o "prohibido que haya alguien adentro"; "todo ser humano es libre de expresar su pensamiento" se expresaría diciendo "permitido el acto de expresar el propio pensamiento" o "permitido que sea expresado el propio pensamiento". Algunos lenguajes deónticos más complejos pueden expresar rigurosamente nociones asociadas, como el concepto de sanción o amenaza de sanción (evocada en el ejemplo del perro) o el concepto de derecho individual (como el ejemplo del derecho a la libre expresión de las ideas).

• El operador de facultad se define: Fp ≡ Pp ^ P¬p

Lo anterior se lee: "(Facultativo p) si y solamente si (Permitido p y permitido no p)".

El operador de facultad parece más adecuado para expresar el último de los ejemplos. "Todo ser humano es libre de expresar su pensamiento" quedaría: "es facultativa la conducta de expresar el propio pensamiento" o "es facultativo que sea expresado el propio pensamiento" o, lo que es lo mismo, "están permitidas ambas conductas: expresar y no expresar el propio pensamiento".

• Tabla de equivalencias

Op ≡ Ph¬p ≡ ¬P¬p

O¬p ≡ Php ≡ ¬Pp

¬O¬p ≡ ¬Php ≡ Pp

¬Op ≡ ¬Ph¬p ≡ P¬p

El operador F no permite definir a los otros operadores por sí solo.

• Los axiomas fundamentales del sistema estándar de lógica deóntica son:

Principio de permisión :

Pp v P¬p

Se lee: “acerca de todo acto (o de toda proposición concerniente a un acto), o bien éste está permitido o bien está permitida su negación”.

Principio de distribución deóntica :

P(p v q) ≡ Pp v Pq

Se lee: “el enunciado según el cual la disyunción de dos actos está permitida equivale, a su vez, a la disyunción de dos enunciados: el que afirma que el primer acto está permitido y el que afirma que el segundo acto está permitido".

Este último axioma se escribe a veces:

O(p ^ q) ≡ Op ^ Oq

Lógica contemporánea

Cabe señalar, la evidencia que emerge en cuanto a la trascendental la importancia de la lógica reviste en todos los órdenes de las actividades y del conocimiento humano; siendo demostrativa del estrecho filosófico, su absoluta concesión con los fundamentos del conocimiento de las matemáticas

Lógica de conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables ocontradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

Teoría básica de conjuntos

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Ejemplos.

• Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los

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