Trabajo colaborativo calculo 1 politécnico

SOLUCIÓN TRABAJO COLABORATIVO-CÁLCULO I

1. ¿Se tienen tres ciudades A, B y C; y se conoce la distancia entre A y B, y la distancia entre A y C. ¿cómo se puede determinar trigonométricamente hablando, la distancia entre las ciudades B y C? Explique claramente su respuesta.

En principio, como se trata de tres ciudades, el problema puede ser modelado como un triángulo, con cada vértice A, B y C del triángulo representando cada ciudad respectivamente y cada distancia entre ciudades ( y  representada como cada lado entre vértices respectivamente, además de los respectivos ángulos  y  , tal y como muestra la figura 1 pese a que el modelo puede estar mal dimensionado. Ahora bien, para resolver este problema es importante notar que se cuenta con dos posibles escenarios; el primero, consiste en que el modelo sea como un triángulo rectángulo (cuyo uno de sus ángulos igual a 90°) o por otro lado que sea como un triángulo oblicuángulo (cuyos lados son todos distintos a 90°), en ambas instancias la solución requiere conocer al menos uno de los ángulos (α, β o γ) del sistema y así poder emplear el teorema del coseno de la siguiente manera suponiendo como la distancia desconocida  la cual corresponde a la distancia entre las ciudades  y :[pic 8][pic 9][pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

1. De conocer el ángulo α: Se podría emplear la ley del coseno mediante la siguiente expresión .[pic 10]
2. De conocer el ángulo β o γ: Se podría encontrar el valor de la distancia entre las ciudades B y C (representada por ) mediante la siguiente ecuación correspondiente a la ley del coseno siendo  la distancia  o  y  el angulo  o  respectivamente a la distancia : . Hallando el valor de  mediante el modelo de soluciones cuadráticas  .[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

1. En la siguiente imagen (figura 2) se muestran algunas rutas de una aerolínea que funciona en Colombia las distancias entre Bogotá y algunos de sus destinos. Con base en esta responda las siguientes preguntas:

[pic 22][pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

1. Si la aerolínea desea crear rutas que conecten dichas ciudades, ¿escriba una función para establecer el costo del combustible por vuelo? Sugerencia: Tenga en cuenta el tipo de aeronave.
2. Calcule la distancia que hay entre la ciudad de Bogotá y Barranquilla, además encuentre los ángulos que faltan para resolver el triángulo Bogotá-Barranquilla-Rio Negro.

En este caso, considerando que hay 4 ciudades en cuestión ( y  entre las cuales puede haber vuelos, se tienen 5 rutas de vuelo diferentes ( y , dichas rutas son equivalentes sin importar si se invierten sus sentidos. Ahora bien, se conoce el valor de las distancias  y de  además del ángulo ,  y . Para conocer el valor de las distancias y los ángulos desconocidos entre cada una de las ciudades se emplearán los teoremas del seno y del coseno de la siguiente manera:[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

• : Se tiene mediante el teorema del seno la igualdad , la cual mediante el despeje puede llevarse a la forma  y finalmente al remplazar los valores conocidos, se tiene que  .[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]
• : Trigonométricamente se conoce que la suma de los lados internos de un triangulo es igual a 180°, ahora tomando las ciudades B, Ba y R como vértices de un triángulo, se tiene que  y por tanto  lo cual se reduce a .[pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]
• : Se puede conocer cuál es la distancia entre las ciudades B y Ba mediante el teorema del coseno, el cual corresponde a la expresión , expresión la cual, al ser despejada y sustituida por los valores conocidos, resulta en .[pic 43][pic 44][pic 45]
• : Mediante el teorema del seno puede obtenerse la igualdad  y mediante un despeje algebraico se tiene la expresión  y al remplazar valores se obtiene .[pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]
• : Trigonométricamente, al igual que para el calculo de , se tiene que  y por tanto se tiene mediante despeje algebraico que  , lo cual al remplazarse es  [pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]
• : Ya con los demás ángulos y distancias calculadas, puede deducirse mediante la ley del coseno la distancia entre la ciudad C y Rio Negro por medio de la expresión , lo cual al despejarse y sustituirse llega a la ecuación .[pic 55][pic 56][pic 57]

Ahora bien, se tiene que como se desea calcular el costo del combustible por viaje hecho en la aerolínea, acorde a [1] que un avión comercial Boeing 747-400 gasta a rededor de 19 litros por cada milla recorrida () y puede transportar 524 pasajeros. Y, según [2] un avión Land Rover Range Rover 5.0 V8 510 consume alrededor de 14.9 litros por cada 100 km recorridos () y transporta 5 personas por viaje, cabe considerar que los aviones comerciales sugieren cargar un 30% de combustible adicional para emergencias. Además, considerando el histórico de precios del combustible para aviones de la figura 3 se tiene un modelo simplificado de 3 variables (distancia a cruzar, mes del año y tipo de avión) el cual predice el costo del combustible para cada vuelo el cual tiene la forma:[pic 58][pic 59]

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