TÉCNICAS DE MUESTREO

TÉCNICAS DE MUESTREO

I. CONCEPTOS GENERALES DE MUESTREO

El objetivo de la teoria de muestras es proporcionar una serie de tecnicas que permitan

conocer caracteristicas o valores referidas al total de unidades de un conjunto,

estudiando solo una parte de las unidades del conjunto.

Poblacion o Universo es el conjunto total de unidades de las que se desea informacion o

conjunto total de unidades objeto de estudio:

{ } P u u uN = 1 2 , ,...,

Muestra es una parte de la poblacion sobre la que se mide la informacion:

S {u u u } j j j jn = 1 2 , ,...,

Tamano de la poblacion es el numero de unidades N que forman la poblacion. Tamano

de la muestra es el numero de unidades n seleccionadas para la muestra.

El termino muestreo se refiere al conjunto de tecnicas utilizadas para seleccionar una

muestra de una poblacion. Representamos por Yi el valor numerico de una caracteristica

o variable en la unidad ui. Esta variable y se denomina variable de estudio.

Valor poblacional es una expresion Į = .( y) que sintetiza los valores de la variable en

estudio en las N unidades de la poblacion completa

Valor muestral es una estimacion Į!( s ) del valor poblacional Į que se calcula a partir de

las n unidades de la muestra.

El valor poblacional es una constante, en general desconocida, que depende solo de los

N valores Yi. La estimacion es un valor calculado y unico en cada muestra particular,

pero el valor varia de muestra a muestra.

Si dado un procedimiento de muestreo podemos definir el conjunto de muestras posibles

o espacio muestral y la seleccion de la muestra se hace de acuerdo a una funcion de

probabilidad P definida sobre el espacio muestral, diremos que el muestreo es

probabilistico. Es decir, para cada muestra posible, Sj, esta definida una probabilidad

P(Sj) > 0 con P( S j

j ƒ°) = 1, y la seleccion de la muestra respeta esta probabilidad.

En el muestreo probabilistico la estimacion ! . se convierte para una muestra particular

en el valor observado de una variable aleatoria Į!( S ) j que se llama estimador cuya

funcion de probabilidad corresponde a la definida en el espacio muestral, es decir

P[ S ] P( S j j

.! ( ) = )

Esta funcion de probabilidad del estimador sobre el espacio muestral se denomina

distribucion de muestreo del estimador y corresponde, por tanto, al conjunto de

estimaciones de todas las muestras posibles con su probabilidad de materializarse.

En la practica podemos asignar probabilidades de seleccion a las N unidades de la

poblacion. En tal caso la probabilidad de seleccion de una muestra sera:

P( S P( u P( u u P( u u u u j j j j jn j j jn ) = ). ).... , ,..., ) 1 2 1 1 2 .1

De esta forma en el muestreo probabilistico, cada unidad de la poblacion tiene una

probabilidad conocida y no nula de ser seleccionada.

El muestreo probabilistico es sin reposicion o sin reemplazamiento si toda muestra Sj

esta formada por n unidades distintas, es decir, las muestras con alguna unidad repetida

tienen probabilidad cero de ser seleccionadas. En caso contrario, si en la muestra puede

haber unidades repetidas, se dice que el muestreo es con reposicion o con

reemplazamiento.

La seleccion con reposicion responde al hecho fisico de hacer n selecciones sucesivas de

elementos, restituyendo a la poblacion cada unidad elegida antes de proceder a la

siguiente seleccion.En la seleccion sin reposicion cada unidad elegida no se restituye a

la poblacion y, por tanto, una misma unidad solo puede estar presente en la misma

muestra una sola vez. En lo que sigue nos referiremos siempre al muestreo sin

reemplazamiento.

Suele hablarse de muestra aleatoria cuando todas las unidades de la poblacion tienen la

misma probabilidad de ser seleccionadas. En este caso todas las posibles muestras son

tambien equiprobables.

Trataremos de aclarar algunos de los conceptos anteriores con un ejemplo. Sea una

poblacion de N=6 elementos en los que la variable y , objeto de estudio, toma los

valores Yi = {8,3,1,11,4,7}.La media poblacional es Y = 8 + 3 + 1+ 11+ 4 + 7 = 6

57 , .

En una muestra aleatoria, la media muestral es un estimador de la media poblacional, asi, si

nuestra muestra, de tamano 3, estuviera formada por los valores (3,11,4) la media

muestral seria y = 6 0, . Seleccionemos todas las muestras posibles de tamano 3

calculando para cada una la media muestral.

Sobre el eje de abscisas se senalan los componentes de cada una de las posibles 20

muestras aleatorias de tamano 3, todas equiprobables, es decir la probabilidad de tomar

una muestra cualquiera es 1/20. En el eje de ordenadas se senala para cada una de las

muestras la media muestral correspondiente. Tambien se indica la media poblacional

que es constante e igual a 5,7, de acuerdo al calculo anterior.

El grafico refleja como el valor poblacional (la media) es una constante pero su

estimador (la media muestral) presenta valores diferentes segun las unidades que

componen la muestra, es decir, el valor del estimador, estimacion, varia de muestra a

muestra. Puede observarse tambien como las distintas estimaciones se situan alrededor

del verdadero valor que se quiere estimar.

Puesto que cada muestra en el ejemplo tiene una probabilidad de 1/20 de ser

seleccionada, cada uno de los 20 valores muestrales tiene tambien una probabilidad de

1/20 de ser obtenido, es decir, denotando por y la media muestral (el estimador) resulta

P(y = 2,7) = P(y = 3,7) ="P(y = 8,7) = 1 20 . Este conjunto de posibles valores del

estimador junto con la probabilidad de obtener cada valor constituye la distribucion en

el muestreo del estimador. En base a esta distribucion puede calcularse la probabilidad

de que el estimador tome valores en un cierto intervalo; asi, el intervalo (4,5; 6,5)

comprende 9 de las 20 muestras. Es decir, la probabilidad de que la media muestral

tome valores comprendidos entre 4,5 y 6,5 es de 9/20.

Siendo el estimador una variable aleatoria pueden estudiarse distintas caracteristicas del

mismo, como son su media o esperanza matematica, la varianza y su raiz cuadrada o

desviacion tipica, y el coeficiente de variacion, esto es, el cociente entre la desviacion

tipica

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