Velocidad Instantanea

VELOCIDAD INSTANTANEA

La velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto al tiempo

V(t)=dr/dt

siendo V y dr magnitudes vectoriales.

Esto quiere decir que V y dr tienen la misma dirección.

dr es el vector desplazamiento infinitesimal en ese instante.

O sea, la velocidad instantánea tiene la dirección del desplazamiento infinitesimal medido en ese instante.

Por supuesto si medimos el vector desplazamiento en un intervalo de tiempo no infinitesimal Ar, lo que tiene la misma dirección que el vector desplazamiento no es la velocidad instantánea ( que además ha podido cambiar a lo largo del intervalo, sino la velocidad media)

Vm=Ar/At --->Vm tiene la dirección de Ar

Determinacion De La Velocidad Instantanea

Practica 6

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria, cuando el lapso de tiempo es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria. Sin embargo, si consideramos intervalos de tiempo cada vez menores, el módulo del desplazamiento se aproxima a la distancia recorrida por la partícula a lo largo de la curva y la dirección de Dr tiende a coincidir con la dirección de la tangente a la curva en el punto P1. Se define como vector velocidad instantánea al límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo Dt tiende a cero.

En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector de posición respecto del tiempo:

Donde es un vector (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria de cuerpo en cuestión y es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.

La medición de la velocidad instantánea de un objeto requiere el conocimiento de la posición del móvil para diferentes tiempos y se puede medir en cualquier punto mediante la evaluación de la derivada de la posición con respecto al tiempo. Los cálculos de la velocidad instantánea se basan en una grafica como la mostrada en la Fig. 2, por lo que el valor de la velocidad es único.

La velocidad instantánea corresponde al instante y nos dice cuál era la dirección, la magnitud y el sentido de la velocidad con que se desplazaba la partícula en ese instante.

La velocidad instantánea es la velocidad que llevaba la partícula en el instante en que pasaba por el punto. En el instante, la partícula llevaba una velocidad, y en ese mismo instante pasaba por el punto

Vmedia = Ar / At

Y cuando digo A quiero decir delta, vamos: una variación. R es la posición, pondré x para el ejemplo siguiente:

Por tanto V media = Ax / At (es un espacio dividido por un tiempo)

Cuando Ax tiende a 0, es decir la posición final menos la inicial tiende a 0, y el tiempo también tiende a 0, entonces obtienes la velocidad instantánea. Pero para ello, si no existise el cálulo diferencial, solo podriamos aproximar.

Por ejemplo tenemos un cuerpo cuya ecuacion de posicion en funcion del tiempo es:

x(t) = 2t^2

Para encontrar la velocidad instantanea en t = 2 segundos tendríamos que mirar para t = 2,1 segundos la velocidad.

Mirariamos para t= 1,9 segundos otra vez la velocidad. Restariamos las dos velocidades, la del tiempo mas avanzado menos la del tiempo menos avanzado, y encontrarías una velocidad media que se acerca a la instantánea.

En cambio la derivada haría lo que harías tu pero usaria para t = 1,9999999... hasta infinito y para el otro t= 2,00000000... infinito..1 hallando una velocidad "media" que tiende a un periodo de t = 0 segundo, llamándose ahora y no velocidad media sino instantánea.

Qué significa

Vinst = dr / dt o bien dx / dt

Se lee "diferencial de r entre diferencial de t" y se dice mastecnicamente "la derivada parcial de la posición con respecto al tiempo (eso quiere decir que si hubiera otras variables, las consiferarias como si se tratasen de constantes)

Por ejemplo para el ejemplo anterior la derivada (que por cierto, no es mas que el pendiente de la recta tangente al punto que consideramos) puedes encontrar la velinstantanea para t = 2

Derivamos la poscion para otener la velocidad:

x= 2t^2

Vi = dx/ dt = 4t

Vinst. par t= 2 s = 4 • 2 = 8 m/s

Si haces los calculos para la otra forma inexacta de calcularlo veras como la velocidad se acerca a 8, pero jamás da el valor exacto.

ainst = d^2 x / d^2 t = dv /dt

Quiere decir hacer dos veces la derivada, para obtener la aceleracion es decir derivas la posicion con respecto al tiempo, y despues la velocidad con respecto al tiempo y encuentras la aceleracion.

Por cierto la notacioesta que hemos estado comentando la de dx /dyes la notacion de Leibniz (no se si he escrito bien su nombre)Para decir derivada tambien puedes hacerlo con una comita, y para la segunda derivada dos comitas:

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