Volumen de un sólido limitado por un paraboide y un plano

[pic 1]

Al tener el sólido limitado por el paraboloide y el plano y=4.

[pic 2][pic 3][pic 4]

FIGURA 1

Sería conveniente proyectar dicho sólido sobre el plano XY yaque de esta manera z=0 lo que quedaría y=x2+ 02   o lo que es lo mismo y=x2  que es una parábola con vértice en el origen, además  limitado por la proyección del plano y=4  que sería simplemente una recta.

[pic 5]

FIGURA 2

[pic 6]

Donde la curva verde que es la frontera inferior del sólido E tiene por ecuación [pic 7]

La curva amarilla que es la frontera superior del sólido E tiene por ecuación [pic 8]

De la figura 2 podemos hallar los puntos de intersección de ambas funciones, igualando las funciones:

[pic 9]

Además se observa por la gráfica que el y tiene por frontera inferior al y=x2  que va hasta la frontera superior  y=4

El z según lo analizado anteriormente varía de [pic 10]

Con lo cual ya podemos describir del sólido E como región tipo 1 es decir donde el x está acotado por dos números fijos, el y está acotado por dos funciones que dependen de x y el z está acotado por dos funciones que dependen de x e y.

[pic 11]

Entonces la integración se representa como:

[pic 12]

Si bien ya se podría calcular dicha integral, no sería sencillo. Entonces vamos a proyectar el sólido E en el plano XZ yaque en dicha proyección se forman infinitas circunferencias con centro en el origen hasta un radio igual a 2. Lo que formaría una región circular de radio igual a 2 cuya ecuación sería [pic 13] 

[pic 14]

[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

        [pic 27]

Figura 3

Entonces el límite por la izquierda del sólido E es el paraboloide [pic 28] y el límite por la derecha es el plano [pic 29]

Es una región tipo 3 yaque se proyectó sobre el plano XZ entonces planteamos la integral iterada con la forma

[pic 30] [pic 31]

Resolviendo

[pic 32]

En la figura 3 resulta más sencillo expresarlo en su forma polar [pic 33]

[pic 34]

(Esa parte de rosado es la representación de la región D3 en coordenadas polares. Un círculo en coordenadas polares se representa  con el theta que varía de 0 a 2π es decir que la región abarca una vuelta completa, y el r varia de 0 a 2, es decir que el radio como máximo es 2)

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