Álgebra lineal Transformación lineal

Transformación lineal

        Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales.

Sean V y W vectores reales. Una transformación lineal T de V en W es una
función que asigna a cada vector v є V un vector único T v є W y que satisface,
para cada u y v en V y cada escalar α.

Propiedades básicas de las transformaciones lineales.

 W. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,…, vn en V y todos los escalares α1, α2,…, αn.→Sea una transformación lineal T: V
1.- T (0) = 0.

2.- T (u-v) = Tu – Tv

3.- T (α1 v1 +α2 v2+…+ αn vn) = α1 T v1 + α2 T v2 +… + αn T vn.

Las TL pueden descomponerse, ponerse en serie, una tras otra y la consecuencia es que la composición de las TL es otra TL.
La composición de las TL genera un producto entre matrices de tal forma que el producto de dos matrices da una matriz

Que representa la matriz de la TL compuesta.
Existen dos tipos de transformaciones de especial interés, la transformación lineal de espacios vectoriales entre sí mismos y la transformación lineal de un espacio entre el espacio unidimensional.
Sea el Sistema de Ecuaciones Lineales, SEL.
3 x +4y =7
+3y = 9+5x

Asignando a la matriz M una función con propiedades especiales, llamada TL, transformación Lineal. Una función T de clase TL, de la matriz M es.

T emplea la dupleta y la transforma en dupleta 
Debido a que las dupletas están en R2, entonces.

El conjunto sobre el cual opera la TL se llama dominio y el conjunto sobre el cual caen los resultados de la transformación se denomina codominio.

5.3 La matriz de una transformación lineal

Definición    Dados [pic 1] espacios vectoriales sobre [pic 2] una transformación lineal entre [pic 3] y [pic 4] es una función

[pic 5]

Que satisface la siguiente condición, para todo [pic 6],                   :[pic 7]

[pic 8]

 Si [pic 9] es lineal, entonces[pic 10], [pic 11] y[pic 12].

 Si [pic 13] satisface [pic 14], [pic 15], entonces [pic 16] es una transformación lineal.

Definición   Dada [pic 17], definimos a [pic 18] como la función ``multiplicación por [pic 19]'', es decir,

[pic 20]

[pic 21]    Con [pic 22]

Un hecho fundamental es que [pic 23] es una transformación lineal entre los espacios [pic 24] y [pic 25] . 

Teorema 2.1.3   Sea [pic 26] una matriz, y [pic 27] su transformación lineal asociada Entonces:

1. .[pic 28]
2. .[pic 29]
3. .[pic 30]
4. .[pic 31]
5. .[pic 32]

Teorema 2.1.4   Sea [pic 33] una matriz de dimensión [pic 34], y sea  su transformación lineal asociada. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:[pic 35]

1. .[pic 36]
2. .[pic 37]
3. [pic 38] es invertible (es decir, existe una matriz [pic 39] de dim. [pic 40] tal que [pic 41]).
4. La forma escalonada reducida por filas de [pic 42] tiene [pic 43] pivotes.
5. [pic 44] es equivalente mediante operaciones elementales a la matriz identidad [pic 45].
6. El conjunto de [pic 46] filas de [pic 47] es linealmente independiente.
7. El conjunto de [pic 48] columnas de [pic 49] es linealmente independiente.
8. La única solución al sistema homogéneo [pic 50] es la solución trivial [pic 51].
9. Existe un [pic 52] tal que el sistema [pic 53] tiene única solución (es decir, [pic 54] para algún [pic 55]).
10. Para todo [pic 56], el sistema [pic 57] tiene única solución (es decir, [pic 58] para algún [pic 59]).
11. [pic 60] (es decir, la única pre imagen bajo [pic 61] del vector cero es el vector cero).
12. [pic 62].
13. [pic 63].
14. [pic 64].
15. [pic 65] es sobreyectiva (es decir, [pic 66].
16. [pic 67] es una base para [pic 68].
17. [pic 69] es inyectiva, esto es, si [pic 70], entonces [pic 71].
18. [pic 72] es un isomorfismo (esto es, una transformación lineal inyectiva y sobreyectiva).

Además, si todas las anteriores condiciones se cumplen (para lo cual basta que una se cumpla), entonces [pic 73] tiene como inversa a la transformación lineal [pic 74], es decir, . [pic 75]

...