Aplicaciones de las derivadas

Aplicaciones de la Derivada

1.-Máximos y mínimos de una función

Es conveniente recordar las definiciones de máximo absoluto y mínimo
absoluto de una función.  Estos conceptos tienen que ver con el valor  máximo y el valor mínimo que alcanza la función en todo su dominio, esto es, desde un punto de vista global.

Definición [pic 1][pic 2]

i)        [pic 3][pic 4]

[pic 5][pic 6]             

[pic 7]

ii)        [pic 8][pic 9]

[pic 10]

entonces  [pic 11][pic 12].

[pic 13]

2.-Variaciones relacionadas

Se considerarán funciones definidas por un parámetro común t, y  la ecuación cartesiana que las relaciona. Se derivará implícitamente esta ecuación con respecto al parámetro t, para obtener una ecuación en variaciones relacionadas, en la que se expresa la razón de cambio de cada función definida paramétricamente con respecto al parámetro común t.

Por ejemplo, el agua que sale desde un depósito cónico, el volumen, el radio y la altura del nivel del agua son funciones que dependen del tiempo t ≥ 0 sabiendo que ellas se relacionan por la ecuación

                  [pic 14]

entonces se deriva implícitamente con respecto al tiempo t, para obtener la ecuación en variaciones relacionadas

[pic 15]

Aquí vemos que la razón de cambio del volumen V está ligado a la razón de cambio de h y r, con respecto al tiempo t, mediante la ecuación anterior

          t=t0                                     t=t1                                         t=t2

[pic 16]

[pic 17][pic 18]

A medida que el tiempo avanza, el volumen V de agua en el tanque cónico, el radio r y la altura h disminuyen. La razón de cambio del volumen indica la velocidad a la que se está vaciando el tanque.

Ejemplos

1. Sean [pic 19][pic 20] dos funciones derivables para [pic 21][pic 22]que están relacionadas por la ecuación y = x2 + 3. Calcular [pic 23][pic 24] para x = 1, dado que            [pic 25][pic 26].

1. Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas concéntricas. El radio r de la onda exterior crece a ritmo constante 30cm/seg. Cuando su radio es 120 cm, ¿a qué ritmo está creciendo el área total A de la zona perturbada

:

teorema   1 [Teorema Criterio para Máximos y Mínimos Absolutos]

Sea [pic 27][pic 28] una función continua; entonces [pic 29][pic 30] tales que

[pic 31]

Definición  2 Sea [pic 32][pic 33]  una función real, y sea, [pic 34][pic 35] un intervalo abierto. Si [pic 36][pic 37] es tal que f'{p) = 0 entonces decimos que p es un punto crítico de f.

Observación 1 Un punto crítico p es candidato a que f(p) sea máximo o mínimo relativo de f,  pues f'(p) = 0 indica que la recta tangente a la gráfica de f tiene pendiente cero en el punto (p, f(p)).

observación 2 De acuerdo al teorema previo, la definición de punto crítico y la observación anterior, concluimos que si [pic 38][pic 39] es una función continua, entonces f alcanza sus valores extremos en a, b o en los puntos críticos p de f.

3.-Aplicaciones de Máximos y mínimos en intervalos cerrados

Antes de resolver los siguientes problemas se recomienda seguir los siguientes pasos:

1ro) Trace un dibujo relacionado con el problema, identificando los datos y los valores incógnitos que debe encontrar. De ser necesario, debe usar sus conocimientos geométricos o relaciones conocidas para reducir todo a una única incógnita.

2do) Determine una función en términos de su única incógnita y establezca un dominio lógico para ella.

3ro) Encuentre los puntos críticos de la función.

4to) Analice los valores extremos de la función, evaluándola en los puntos críticos encontrados y en los extremos del intervalo de definición (dominio de la función).

5to) Compare los valores obtenidos para la función en los puntos evaluados y concluya.

Ejemplos

1. Un fabricante de cajas de cartón quiere elaborar cajas abiertas a partir de trozos rectangulares de cartón cortando cuadrados en las esquinas y doblando hacia arriba. Si las dimensiones de cada trozo de cartón son de 10cm de ancho por 17cm de largo, determinar la longitud que deben tener los lados de los cuadrados a cortar para que la caja resultante tenga el mayor volumen posible.

1. Sean А у В dos puntos opuestos a orillas de un río recto de ancho constante igual a 3 kilómetros. Un tercer punto С está en la orilla donde está В, а к kilómetros de B. Una Compañía telefónica desea tender un cable desde A hasta C. Si el costo por kilómetro de cable tendido sobre tierra es de $10.000 y el costo por kilómetro de cable tendido bajo el río (cable subterráneo) es de $12.500, encuentre el costo mínimo del cableado desde A hasta С para к = 2 y para к = 10. En cada caso señale las condiciones bajo las cuales el costo encontrado es mínimo. (SUG: Considere un punto arbitrario P entre В y C, de modo que al cable comience desde A, se dirija hacia P y luego hacia C)

1. Encontrar las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en un cono circular recto cuyo radio mide 5cm y su altura es de 12cm.

Teorema de Rolle y Teorema del valor medio

Teorema   2 [Teorema de Rolle]

Sea [pic 40][pic 41] una función continua en [a, b] y derivable en[pic 42][pic 43] entonces:

[pic 44]

teorema   3 [Teorema del Valor Medio]

Sea [pic 45][pic 46]  una función continua en [a, b] y derivable en [pic 47][pic 48], entonces:

...