Programación lineal. Métodos para resolver problemas de Investigación de Operaciones

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1. Introducción

¿Qué es la Investigación de Operaciones?

La Investigación de Operaciones (IO) es un campo interdisciplinario que aplica modelos matemáticos, estadísticos y algoritmos avanzados para resolver problemas relacionados con la optimización de recursos y procesos. Su objetivo principal es ayudar a tomar decisiones informadas en entornos complejos, utilizando técnicas analíticas para evaluar opciones y encontrar soluciones óptimas.

La programación lineal, como una de las principales herramientas de la IO, permite formular y resolver problemas en los que se busca maximizar o minimizar una función objetivo (como ganancias o costos), respetando restricciones expresadas de manera lineal.

Aplicaciónes de la Investigación de Operaciones

La IO tiene aplicaciones prácticas en múltiples sectores, donde contribuye a mejorar la eficiencia y rentabilidad de las operaciones. Algunas de sus principales aplicaciones incluyen:

1. Logística:

• Diseñar rutas óptimas de transporte para minimizar costos y tiempos de entrega.
• Planificar la distribución de productos en cadenas de suministro.

1. Producción y Manufactura:

• Optimizar la asignación de recursos en líneas de producción para maximizar la eficiencia.
• Gestionar inventarios para reducir costos de almacenamiento y evitar faltantes.

1. Finanzas:

• Crear portafolios de inversión que maximizan rendimientos y minimizan riesgos.
• Planificar presupuestos considerando restricciones de ingresos y gastos.

1. Sistemas Computacionales:

• Balancear cargas de trabajo en servidores para reducir tiempos de procesamiento y costos operativos.
• Diseñar redes óptimas que minimicen costos de infraestructura y mantenimiento.

1. Salud:

• Optimizar la asignación de recursos médicos, como personal, camas hospitalarias y medicamentos.
• Planificar campañas de vacunación para alcanzar la mayor cobertura con recursos limitados.

1. Sector Público:

• Mejorar la asignación de presupuestos para proyectos gubernamentales.
• Diseñar políticas públicas basadas en análisis cuantitativos para maximizar su impacto.

1. Agricultura:

• Diseñar planes de cultivo que maximicen ganancias considerando la disponibilidad de tierra, agua y otros recursos.

Métodos para resolver problemas de Investigación de Operaciones

La IO utiliza una variedad de herramientas y técnicas matemáticas para abordar problemas de optimización. Los métodos más destacados incluyen:

Método Simplex:

Es el algoritmo más utilizado para resolver problemas de programación lineal. Este método avanza iterativamente entre los vértices de la región factible hasta encontrar la solución óptima. Es útil para problemas grandes y complejos con múltiples restricciones lineales.

Gran M:

Se utiliza cuando se necesitan variables artificiales para garantizar una solución inicial factible. El método penaliza estas variables con un valor muy alto (MM) en la función objetivo, obligándolas a salir de la solución.

Método de Dos Fases:

Divide la resolución en dos etapas: la primera encuentra una solución factible eliminando las variables artificiales, y la segunda optimiza la solución de acuerdo con la función objetivo original.

Dualidad:

Relaciona el problema primal con un problema dual asociado. Este enfoque proporciona información valiosa, como los costos sombra, que indican cuánto incrementaría el valor de la solución óptima si se dispone de más recursos.

Ayuda a validar resultados y analizar alternativas.

1. Modelado

Descripción del Problema

Melissa tiene una veterinaria y ofre tres servicios principales: baño de mascotas, consultas verinarias y vacunas. Cada baño de mascotas requiere 2 frascos de shampoo, 60 minutos de trabajo y genera una ganancia de $40. Cada consulta requiere 1 kit médico, 60 minutos de trabajo y genera $60. Cada vacuna necesita 1 kit médico, 30 minutos de trabajo, y genera $50. Melissa dispone de 10 frascos de shampoo, 25 kits médicos y 1800 minutos (30 horas) de trabajo.¿ Cuántos baños, consultas y vacunas debería realizar para maximizar sus ganancias?

Formulación del Modelo de Programación Lineal

Modelo Final

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1. Capitulo 3: Se resolvera el problema propuesto atraves del Método Simplex

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Forma estantandar

Para el método simplex debemos transformar la funcion objetivo en minimización, ya que el método simplex busca minimizar. Además de que debemos añadirle variables de holgura  para convertir las restricciones en ecuaciones (solos cuando la desigualdad es )[pic 25][pic 26]

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