Solemne Matematicas Discretas

Universidad San Sebastian

Ingeniería Civil en Informática

1ra Solemne de Matemáticas Discretas.

Profesor: Dr. Mauricio Sepúlveda

Fecha: 27/Abril/2021

Pregunta 1

Demuestre por inducción que:

[pic 1]

∀a ∈ Ν.   (10ptos)

Solución

Veamos si , es verdadero.[pic 2]

, Entonces es verdadero.[pic 3]

Hipótesis inductiva

Supongamos que , es verdadero.[pic 4]

Tesis inductiva,

Se verificará que [pic 5]

, por la definición, luego.[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

=[pic 12][pic 13]

Por consiguiente, se cumple ∀a ∈ Ν.

Pregunta 3.

Encuentre las soluciones de la ecuación diofántica siguiente:

150x + 40y = 1500   (10ptos)

Solución

M.c.d.(150,40) = 10, como 10|1500,la ecuación tiene solución.

Entonces se resolverá la ecuación equivalente.

15x + 4y = 150 , donde a=15, b=4 y c = 150

En ella se cumple que M.c.d.(15,4) = 1

Entonces, se buscará las soluciones que son:

𝑥 = 𝑐∗𝑚 − 𝑘∗𝑏 , 𝑦 = 𝑐 ∗𝑛 + 𝑘 ∗𝑎 , 𝑘 ∈ Z

Para determinar los coeficientes de Bezout. Se escribe la ecuación siguiente:

15m + 4n = M.c.d.(15,4) = 1,

Donde los coeficientes sería: 15*(-1)+ 4*(4) = 1, luego m = -1 y n = 4

Entonces, las soluciones son:

𝑥 = 150∗(-1) − 𝑘∗4 , 𝑦 = 150 ∗(4) + 𝑘 ∗15 , 𝑘 ∈ Z

Entonces, 𝑥 = -150 − 4𝑘 ,   𝑦 = 600 + 15𝑘     , 𝑘 ∈ Z

Pregunta 4.

Hallar el residuo cuando 61989 es dividido por 37.  (10ptos)

Solución

Como 62 ≡ −1 mod 37.  Elevando a ()994 por Propiedad 10 de congruencias.

(62)994  ≡ (−1)994 mod 37.  

61988  ≡ 1 mod 37.  Multiplicando por 6, por propiedad 7 de las congruencias.

6*61988  ≡ 6*1 mod 37.  Finalmente

61989  ≡ 6 mod 37.  

El residuo es 6.

...