Optimización (aplicación de derivadas)

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PREGUNTA 1.

Para plantear la funcion de utilidad que se requiere para maximizar, primero debemos entender el concepto de utilidad en este contexto

La utilidad se refiere a las ganancias netas que una empresa obtiene al producir y vender un cierto numero de unidades de un producto, en este caso la funcio de costo es

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La funcion U(X) se define como la diferencia entre los ingresos totales y costos totales

U (X) = INGRESOS TOTALES – COSTOS TOTALES

Los ingresos totales se calculan multiplicando el precio unitario por la canrtidad unitaria es decir,

INGRESOS TOTALES = P(X) – X

Los costos totales estan dados por la funcio de costos

COSTOS TOTALES = C(X)

Entonces la funcion de unidad U(x)  se puede expresar como

U(x)= P(x) * X – C(x)

Sustituyendo las expresiones de P(x) y C(x) en la ecuacion de unidad:

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Simplificamos : [pic 9]

ESTA ES LA FUNCION DE UTILIDAD QUE SE REQUIERE PARA MAXIMIZAR

PREGUNTA 2

Para calcular el numero de productos o producir y comercializar para que la utilidad sea maxima  debemos encontrar el valor de  X que maximiza la funcion de utilidad U(x) Para hacerlo primero encontraremos la derivada de U(x) con respecto a X y luego igualaremos la derivada a cero para encontrar los puntos criticos

DERIVEMOS U(x) CON RESPECTO A X

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Ahora igualaremos las derivadas de cero y resolveremos para X

[pic 11]

Tenemos un punto crítico en X=5 para determinar si este punto es un máximo o un mínimo podemos aplicar la siguiente derivada

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Costo U(x) es constante y negativo, esto indica que tenemos un máximo en X=5

Por lo tanto, para la maximizar la utilidad, se deben producir y comercializar 5 unidades de productos La utilidad máxima se obtendrá cuando se y vendan 5 unidades del producto

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