Prova d’avaluació continuada 5. Optimització

PAC5.  Optimització

Nom i cognom de l’estudiant

Prova d’avaluació continuada 5. Optimització

Presentació i objectius

Presentació

La PAC5 d'Optimització avalua els continguts del mòdul del programa dedicat a l'optimització en funcions de diverses variables i, en particular, en funcions de dues variables, tant sense restriccions com amb restriccions d’igualtat.

Objectius

Els objectius de la PAC 5 són avaluar que l'estudiant ha après correctament:

1. Els conceptes bàsics associats a la determinació d'òptims com són la funció objectiu, el domini factible, la definició d'òptim o la relació amb les corbes de nivell.
2. A utilitzar les tècniques basades en el càlcul diferencial per determinar òptims sense i amb restriccions d'igualtat.
3. A conèixer el mètode de Lagrange per resoldre problemes d'optimització amb restriccions d'igualtat.
4. A formular problemes econòmics en termes matemàtics, i a determinar els òptims en el problema analitzat.

Competències d'ADE

• Capacitat per generar coneixement econòmic rellevant a partir de dades, aplicant els instruments tècnics pertinents.
• Capacitat per utilitzar i aplicar les tecnologies de la informació i la comunicació en l’àmbit acadèmic i professional.

Competències d'Economia

• Buscar, identificar, organitzar i utilitzar adequadament la informació.
• Aprendre de manera autònoma a investigar i innovar.
• Aplicar les principals tècniques instrumentals pròpies de l'anàlisi econòmica.
• Avaluar críticament les conseqüències de diferents alternatives d'acció i dissenyar mesures en relació a la selecció de les més adequades en funció dels objectius.
• Elaborar informes econòmics que contribueixin al procés de presa de decisions tant en l'àmbit públic com en el privat.

Criteris d’avaluació

D'acord amb la puntuació assenyalada en cada pregunta.

Format i data de lliurament

Les proves d'avaluació continuada s'han de lliurar a la bústia específica de Lliurament d'activitats que es troba a l'apartat Avaluació de l'aula.

Les proves s’han de lliurar en format pdf o doc. Les proves es poden enviar resoltes a mà i escanejades o fotografiades sempre i quan s’enviïn en un únic document pdf.

L'últim dia per lliurar aquesta activitat és el 24 de maig de 2022.

Enunciat

PREGUNTES CURTES (Raoneu breument la resposta) (1.5 punts cada una)

Pregunta 1

Donada la següent matriu hessiana d’una funció :[pic 1]

[pic 2]

1. Determineu quina condició ha de complir el paràmetre  per a què la matriu hessiana sigui definida negativa en el punt . (1 punt)[pic 3][pic 4][pic 5]

Hay varios métodos para estudiar si una matriz es definida negativa. Quizás el más práctico es el de los menores preferentes. Y según este criterio, para que una matriz sea definida negativa los menores preferentes de orden impar tienen que ser negativos y los de  orden par positivos.

En el punto (-1,3,1) la matriz Hessiana es:

[pic 6]

El primer menor preferente es -1 < 0.

El segundo menor preferente es el determinante de:

-1 1

1 – 3

Por lo tanto, 3 -1  = 2 > 0

Y el tercer menor preferente es el determinante de H y es:

Det (H) = 3k – 2 – 2 + 12 – k + 1= 2k  + 9

Por lo tanto, la condición para que H sea definida negativa es:

2k + 9 < 0

O lo que es lo mismo:

k < -9/2

1. Analitzeu si la funció en aquest punt és còncava o convexa. (0.5 punts)

La función es cóncava en este punto, pues cuando es definida negativa es cóncava y cuando es definida positiva convexa.

Pregunta 2

Determineu els punts crítics de la funció següent:

.  [pic 7]

Los puntos críticos son aquellos que cumplen que las derivadas parciales son todas cero. Por lo tanto, derivamos la función respecto a x  e y. Y después igualamos las dos derivadas a cero:

Df/dx = 3x2 + 3y2 – 6x = 0

Df/dy = 6xy – 6y = 0

Empezamos sacando factor común de la seguna expresión:

6y(x-1) = 0

Y ahora igualamos por separado a cero:

6y = 0 -🡪 y = 0

x- 1 = 0--🡪 x = 1

De modo que si y = 0 la segunda derivada es cero, y la primera es:

3x2  – 6x = 0

3x(x-2) = 0

Y es cero cuando x = 0, x = 2, de donde se obtienen dos puntos críticos:

(0,0), (2,0)

Por otra parte, cuando x  = 1 también se anula la derivada respecto a y; mientras que la primera respecto a x será cuando x = 1:

3 + 3y2 – 6 = 0

3y2 = 3

De modo  que se anula cuando y = -1, o y =1.

De donde deducimos dos puntos críticos más, que son:

(1,1), (1,-1)

Pregunta 3

Considereu la funció  on [pic 9] i [pic 10] són dos paràmetres reals. [pic 8]

1. Determineu quins son els valors dels paràmetres [pic 11] i [pic 12] que fan que la funció tingui dos punts crítics ens els punts . (1 punt)[pic 13]

Como se ha dicho, las dos derivadas parciales tienen que ser cero. Por lo tanto, derivamos respecto a x e y, igualamos a cero, y sustituimos los dos puntos definidos:

df/dx = 2x – a = 0

df/dy = 3y2 – b = 0

En (3,2):

6 – a = 0

12 – b = 0

Y en (3,-2):

6 – a = 0

12 – b = 0

En ambos casos llegamos a los siguientes valores de a y b:

...