ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO.

ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO

Introducción

El análisis combinatorio estudia las diversas formas de agrupar u ordenar los elementos de un conjunto. Estos elementos son de cualquier naturaleza (personas, animales, objetos o sucesos) y se representan por a1, a2…. an 

Algunos ejemplos ilustran lo anterior:

1. Cuantos comités de 3 personas se pueden obtener de un grupo de 20?
2. De cuantas formas se pueden asignar 5 operarios a 5 maquinas distintas?
3. Cuantos números de 4 cifras diferentes y serie de 2 letras diferentes pueden formarse?

Estos y diversos ejercicios se trataran a continuación

FACTORIAL DE UN NUMERO  n

La expresión n! se le llama  n factorial e indica el producto sucesivo de los números desde n hasta 1, es decir:

n! = n(n-1) (n-2)….. (1)

Ej:      5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-3) (5-4)

              =  5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880

Propiedades:     

          0! =1

          n! = n(n-1)!

         n! = n(n-1) (n-2)

Se estudiaran a continuación los siguientes ítems:

1. Variaciones
2. Permutaciones
3. Combinaciones

1. Variaciones :

Dado el conjunto de n elementos [pic 1]se llaman variaciones de orden r a todos los grupos o subconjuntos de r elementos que se pueden elegir entre ellos, considerando que dos variaciones son diferentes cuando:

i) Tienen al  menos un elemento diferente entre ellas o

ii) Cuando teniendo los mismos elementos difieren en el orden.

Por ejemplo un equipo de baloncesto formado por:

(Juan, Pedro, José, Joe y Erik) será diferente del equipo

(Pedro, Erik, Juan, José y Joe) ?

Un vehículo de (19) millones es lo mismo que un vehículo de (91) millones?

Ejemplo:

Sea el conjunto [pic 2], cuantas variaciones de orden dos se pueden obtener?

Variaciones de orden 2 (r = 2) = (a1a2), (a2a1), (a1a3), (a3a1), (a2a3), (a3a2) = 6

También pueden incorporarse (a1 a1), (a2, a2), (a3,a3)

1.1 Cálculo de las variaciones sin repetición:

Son aquellas en las que los elementos de cada una de ellas son diferentes.

[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8] V(n, r) = n! / (n-r)!                   r [pic 9] n

1.2 Calculo de las variaciones con repetición:

               V` (n, r) = nr 

Ejemplos:

1. Cuantos números de 4 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos del 1 al 9?

Haciendo n = 9 y r= 4 se tiene que:

        V (9,4) = 9! / (9-4)! = 9! / 5! = 3024 números

1. Cuantos números de 4 cifras pueden formarse con dígitos del 1 al 9, si los dígitos que forma cada número pueden repetirse?

n = 9; r = 4 [pic 10] V´ (9,4) = (9)4 = 6561 números

1. El transito departamental dispuso que las placas para los carros deben tener 3 dígitos y 3 letras

1. Cuantas placas posibles pueden hacerse?

1. Si los números pueden repetirse y las letras no?

1. Si los números no pueden repetirse y las letras si?

1. Si los números y las letras no pueden repetirse?

1. Si la placa siempre inicia con la letra B……….R/

1. Si las dos primeras letras son siempre AC y el primer número es el 8….R/

1. Si la letra del centro es siempre H y el número final es siempre el 5…..R/

1. Si solo dos letras pueden repetirse.
   

Solución:

Asumiendo 26 letras de nuestro alfabeto se tiene:

1. Una placa puede ser [pic 11] o también [pic 12]

Así las letras se obtiene a través de VARIACIONES CON REPETICION: V`(26,3) = 263 = 17576

De la misma forma para los números: V´ (10,3) = 103 = 1000 números

Aplicando el principio de multiplicación, puede obtenerse: 17576 x 1000 = 17.576.000

1. Para los números V´(10,3) = 10 3 = 1000

Como las letras no pueden repetirse entonces es una variación sin repetición:

 V (26,3) = 26! / (26-3)! = 15600

Por el principio de multiplicación: 1000 x 15600 = 15.600.000 placas.

1. Dado que los números no pueden repetirse, entonces:

                V (10,3) = 10! / (10-3)! = 101 / 7! = 720

Para las letras V´ (26,3) = 263 = 17576

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