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Resumen

Estudiaremos el movimiento de una partcula en un potencial radial (que depende

solo de jrj, la distancia al origen) junto con sus aplicaciones mas conocidas como las

leyes de Kepler. Un resultado interesante es que solo existen dos potenciales de este tipo

que tienen la particularidad que todas sus orbitas acotadas son cerradas, los cuales son

muy conocidos en Fsica. Por el otro extremo, una motivacion puramente matematica

nos lleva a estudiar potenciales homogeneos de grado cero (que no dependen de jrj),

los cuales nos reducen a estudiar el movimiento de la partcula solo sobre la supercie

de la esfera unitaria, de la cual explotaremos sus propiedades topologicas. Para este

ultimo caso daremos condiciones necesarias para las cuales la partcula tiene un lmite

sobre la supercie de la esfera al hacer tender el tiempo al innito.

1 Introduccion

Iniciaremos estudiando la ecuacion de Newton con potenciales radiales, tambien llamados

campos de fuerza central. Una aplicacion de esta teora es el movimiento planetario, el cual

sabemos que se encuentra gobernado por las leyes de Kepler. De todas las posibles formas

en que nos podemos imaginar un potencial radial, existen solamente dos casos en que todas

sus orbitas acotadas son cerradas, y para nuestra fortuna son potenciales muy estudiados en

fsica.

En contraste al caso anterior, podemos imaginar ahora potenciales que cumplan con

una propiedad muy particular, que no dependan de la distancia al origen. Podramos decir

que son todo lo contrario a los potenciales radiales. Este tipo de potenciales nos reducen

a estudiar el movimiento de una partcula del espacio n-dimensional al movimiento sobre

la cascara de una esfera, lo cual nos induce a explotar sus propiedades topologicas. Ya

que nos encontramos restringidos al movimiento sobre una esfera, encontramos condiciones

necesarias para que la trayectoria de la partcula tenga un lmite cuando el tiempo tiende a

innito.

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