De torsion de ejes y tubos de paredes delgadas

ENSAYOS INDUSTRIALES

Dpto. de Ingeniería Mecánica y Naval

Facultad de Ingeniería

Universidad de Buenos Aires

TORSION

Luis A. de Vedia

Hernán Svoboda

Buenos Aires

2001

6. TEORIA INGENIERIL DE TORSION DE EJES Y TUBOS DE PAREDES DELGADAS.

6.1 Torsión de un eje de sección circular.

Sea un eje de sección circular de radio R y longitud L sometida a un momento torsor T como se muestra en la Fig. 6.1.

B O

Fig. 6. 1

A

Asumiremos que secciones planas antes de la deformación permanecen planas después de la deformación, lo que se verifica experimentalmente para ejes de sección circular pero que no es cierto en general para otras secciones.

Una fibra tal como la OA adoptará luego de la deformación la posición

OB, de modo que

siendo

γ = tgα ≅ α

α = AB L

= Rθ

L

de modo que

γ = Rθ

L

Si se asume además que un diámetro del eje antes de la deformación, lo continua siendo luego de la misma, puede escribirse

rθ γ r = L

donde r es la distancia al centro del eje y γr representa la deformación angular

en esa posición.

La condición de equilibrio exige

T = zR τ rdA = zR τ

dr 2 idA

o o r

Ahora bien, como

resulta

τ r = Gγ r

= G rθ

L

τ r

r

= Gθ

L

= Cte.

de modo que

T = τ r zR

r 2dA =

τ r J

r 0 r

donde J es el momento de inercia geométrico polar de la sección.

Resulta entonces

donde

Tr

τ r = J

(6. 1)

J

Obsérvese que dado que

= πD

32

G = τ r = TR / J

= TL

γ r Rθ / L Jθ

resulta

θ = TL GJ

= T GJ / L

(6. 2)

donde GJ/L es la Rigidez Torsional del eje.

Resulta ilustrativo extender los resultados anteriores al caso de un eje de sección circular levemente variable como se muestra en la Fig. 6.2.

Fig. 6. 2

Podemos escribir

r = a +

bb − agx

L

Por ser la sección levemente variable, podemos aplicar la 6.2 al elemento de longitud dx y radio r para el que obtenemos

π= D 4

J = =

π=r 4 π

=

L b b − ag x O4

32 2 2 L

de modo que

dθ =

Tdx

π L bb − agx O4

G 2 NMa + L

Integrando obtenemos

L

θ = 2T

zL dx =

2T GF−

1JIGF

L JI M 1 P =

π 0 L

b − g O4

π H 3 KH

− K M 3 P

G b a x G

a +

L

NF (b −a) x KI Q

2TL F

1 1 I

= G− 3 3 J

3Gπ bb − ag H

b a K

(6. 3)

6.2 Tubos de paredes delgadas.

Consideremos el caso de un tubo largo de paredes delgadas de sección con forma arbitraria, como se muestra en la Fig. 6.3.

Fig. 6. 3

A diferencia de la sección circular considerada anteriormente, la sección ahora considerada puede alabearse. Asumimos no obstante que no habiendo restricción para este alabeo, no hay generación de tensiones de tracción o compresión en la dirección longitudinal.

Aislando un elemento de volumen, dado que el espesor es pequeño, puede considerarse razonablemente que las tensiones tangenciales son constantes en el espesor y que adoptan la dirección tangente a la línea media del contorno, como se muestra en la figura.

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