Efecto Hall-resistividad

MEDIDAS DE RESISTIVIDAD YEFECTO HALL

Objetivos: Estudio de la resistividad en muestras metálicas y semiconductoras.

Medida de la resistividad por el procedimiento clásico y por el método de

Van der Pauw. Caracterización por efecto Hall: medida de la

concentración de portadores.

Material: Fuente de alimentación, multímetro digital, electroimán con fuente de

alimentación variable y muestras de materiales (hilo bobinado, dos

muestras de grafito, una metálica de Bi y dos semiconductoras de Ge.

1. INTRODUCCION.

El modelo más sencillo para interpretar el fenómeno de la conducción en

metales es el modelo de Drude [1,2]. La hipótesis fundamental del modelo es que los

electrones de valencia están libres y que estos electrones pueden ser tratados como

las moléculas en teoría cinética de los gases. Se supone que los electrones

experimentan colisiones casi instantáneas. A través de estas colisiones los electrones

se encuentran en equilibrio térmico a una temperatura T. Entre colisiones se supone

que los electrones viajan en línea recta obedeciendo las leyes de Newton. Si tenemos

un campo exterior aplicado en la dirección x, tendremos:

mx

..

= -eE (1)

y por tanto los electrones tendrán una velocidad adicional dada por -(eE/m)t

mientras el campo siga aplicado. La característica que define el proceso de dispersión

que sufren los electrones es el tiempo de relajación , o tiempo medio entre

colisiones. Dado que los electrones colisionarán (fenómeno de dispersión) después

de un tiempo , y puesto que después de cada colisión volverán a estar en equilibrio

térmico, resultará que un campo eléctrico constante proporcionará a los electrones

sólo una velocidad media correspondiente a dicho tiempo , dada por:

vd= -(eE/m) (2)

llamada velocidad de deriva. Esta cantidad es por supuesto dependiente del campo

aplicado. La magnitud que tiene más interés físico es la movilidad =e/m que es

independiente de E. Cabe comentar que la velocidad cuadrática media debida a la

temperatura es mucho mayor que vd.

1.1. CONDUCTIVIDAD ELECTRICA.

La ley de Ohm la podemos escribir en la forma

EJ 

 o JE 

 (3)

13 donde  es la resistividad, resistencia en una unidad de área y por unidad de

longitud, y  es la conductividad (= 1/). El modelo supone ambas magnitudes,  y

, escalares.

Supongamos que aplicamos un campo eléctrico y que por tanto los electrones

se mueven con una velocidad vd atravesando cierta superficie de área A en un

tiempo dt. La carga que fluye es -(N/V)evdAdt donde N es el número de electrones

con carga -e. La densidad de corriente será

J= -(N/V)evd (4)

Utilizando la expresión de vd obtendremos una expresión para la

conductividad

= (N/V)e2/m= ne2/m= en (5)

donde n es la concentración de electrones N/V. De la medida experimental de 

podemos obtener el tiempo de relajación .

Cuando las medidas de resistividad se realizan en muestras con forma

paralelepípeda, se utiliza el llamado método de los cuatro puntos (ver figura 1). La

corriente se introduce por dos caras paralelas de la muestra, mientras que la tensión

se mide en dos puntos intermedios, evitando así el error debido a la caída de tensión

en los contactos (la impedancia de entrada del voltímetro ha de ser mucho mayor

que la resistencia entre los contactos de tensión).

V

Fuente

de corriente

(I cte)

L

Figura 1

La resistividad de la muestra vendrá dada por la expresión:

= VA/IL (6)

donde A es la sección de la muestra y L la distancia entre los contactos de tensión.

Otro método usual de medida de resistividad es el de Van der Pauw, en el que

la muestra puede ser de forma arbitraria (aunque homogénea en composición y

grosor) y los contactos se pueden tomar en cualquier punto del contorno. La única

restricción es que ha de ser delgada. La figura 2 muestra un esquema del montaje

correspondiente.

14

V

Fuente

muestras

(I cte) A

D

B

C

Figura 2

En primer lugar se mide la tensión entre C y D, VCD=VD-VC haciendo pasar la

corriente entre A y B, calculando R1: R1= VCD/IAB (7)

y después se mide la tensión entre A y D, VDA=VA-VD, haciendo pasar la corriente

entre B y C. Calculando en este caso R2: R2= VAD/IBC (8)

De acuerdo con el método de Van der Pauw, la resistividad  vendrá dada por

la expresión:

 ~ d

Ln(2)

R1+R2

2 (9)

donde d es el grosor de la muestra.

1.2. EFECTO HALL.

Si una muestra conductora paralelepípeda por la que circula una corriente se

introduce en el seno de un campo magnético perpendicular a la dirección de la

corriente (Fig. 3), los portadores de carga se verán sometidos a una fuerza Fm que los

desviará hacia uno de los extremos laterales de la muestra:

m d BvqF

    (10)

Tomando en cuenta la ecuación 3:

m n/)BJ(B)qn/J(qF      (11)

v q 

Fm B  

a

d

Figura 3

15 Los portadores se desviarán hacia arriba o hacia abajo (según el signo de q),

dando lugar a una acumulación de cargas, con lo que aparecerá un campo eléctrico

transversal llamado campo de Hall, EH. El equilibrio se alcanzará cuando la fuerza

magnética se compense con la debida al campo de Hall:

m EqFF HH

    (12)

luego

H H )BJ(RBJ)qn/1(E      (13)

La constante de proporcionalidad RH se llama coeficiente de Hall, y viene

dada por la expresión:

RH= 1/qn (14)

El signo de RH depende del de la carga q.

Pongamos la ecuación

...