HKGGHF la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;

En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como ( x − a ) n {\displaystyle (x-a)^{n}} ( x-a )^n llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto a {\displaystyle a} a suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, a = 0 {\displaystyle a=0} a=0, se le denomina serie de McLaurin.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;

se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;

es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent). Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

Índice [ocultar]

1 Definición

2 Historia

3 Función analítica

4 Series de McLaurin (Taylor alrededor del número 0) notables 4.1 Función exponencial y logaritmo natural

4.2 Serie geométrica

4.3 Funciones trigonométricas

4.4 Funciones hiperbólicas

4.5 Función W de Lambert

5 Varias variables

6 Aplicaciones

7 Véase también

8 Referencias

9 Enlaces externos

Definición[editar]

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x − a ) 3 + ⋯ {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots } f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots

que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\,} \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,

donde:

n! es el factorial de n

f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.

La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como 0 ! {\displaystyle 0!} 0! son ambos definidos como 1 (0 ! {\displaystyle 0!} 0! = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionó, la serie se denomina también de McLaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma ∑ a n ( x − a ) n {\displaystyle \sum _{}^{}a_{n}(x-a)^{n}} \sum^{}_{}a_n(x-a)^n siempre se puede hacer el cambio de variable z = x − a {\displaystyle z=x-a} z=x-a (con lo que x = z + a {\displaystyle x=z+a} x=z+a en la función a desarrollar original) para expresarla como ∑ a n z n {\displaystyle \sum _{}^{}a_{n}z^{n}} \sum^{}_{}a_nz^n centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función f ( x ) = x ln ⁡ x {\displaystyle f(x)=x\ln x} f(x)=x\ln x alrededor de a = 1 se puede tomar z = x − 1 {\displaystyle z=x-1} z=x-1, de manera que se desarrollaría

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