Ley De Los Grandes Numeros

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

En la teoría de la probabilidad, bajo el término genérico de La ley de los grandes números se engloban varios teoremas que describen el comportamiento del promedio de una sucesión de variables aleatorias conforme aumenta su número de ensayos.

Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.

Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.

Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema central del límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar.

La frase "ley de los grandes números" es también usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería.

Ley Débil

La ley débil de los grandes números establece que si X1, X2, X3, ... es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes que tienen el mismo valor esperado μ y varianza σ2, entonces el promedio

Converge en probabilidad a μ. En otras palabras, para cualquier número positivo ε se tiene

Ley Fuerte

La ley fuerte de los grandes números establece que si X1, X2, X3,... es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que cumplen E(|Xi|) < ∞ y tienen el valor esperado μ, entonces

Es decir, el promedio de las variables aleatorias converge a μ casi seguramente (en un conjunto de probabilidad 1)

Esta ley justifica la interpretación intuitiva de que el valor esperado de una variable aleatoria como el "promedio a largo plazo al hacer un muestreo repetitivo".

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.

Sea la función de densidad de la distribución normal definida como1

Con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad es , a la distribución se le conoce como normal estándar.

Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):

De manera que, la media de Sn es n•µ y la varianza n•σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

Para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Zn convergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

Donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

Ejemplo:

Calcular la probabilidad obtener 200 puntos al lanzar 70 dados.

Sea la variable X ~ número de puntos obtenidos en los 70 lanzamientos ~ B (n=70, p=1/6).

Consideramos cada uno de los 70 lanzamientos como variables independientes, con lo cual podemos aplicar el Teorema Central del Límite y aproximarla a una distribución normal, pues se cumple que np(1‐p)= 9,72 es decir, ≥ 9. 5

Utilización Práctica del Teorema Central del Límite

X ~ número de puntos obtenidos en los 20 lanzamientos ~ B (n=20, p=1/6) ~ N(E(X), σ(X)),donde E(X) y σ(X) son la esperanza y la desviación típica de la distribución binomial, lanzamiento de 70 dados.

Aprovecharemos la propiedad, de que conocidos

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