TALLER CONTABILDAD III PATRIMONIO

TALLER CONTABILDAD III PATRIMONIO

Derivada

Definición

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

Derivada en el punto a

Se llama derivada de f(x) en x=a, y se denota f'(a) a:

            f(x) - f(a)

f'(a) = lim -----------

        x->a   x - a

Función derivada

La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.

Teorema

Si una función es derivable, entonces es continua.

H) f es derivable en x=a.
T) f es continua en x=a.

Demostración:

Por hipótesis, existe

    f(x) - f(a)

lim ----------

x->a  x - a

=> existe f(a) (1)                                

lim f(x) = lim f(x) - f(a) + f(a) =

x->a       x->a                    

     f'(a) por H)                  

    ------^------    0

    (f(x) - f(a)) --^--

lim -------------(x - a) + f(a) = f(a)  (2)                  

x->a    x - a

De 1) y 2): existe f(a) y limx->af(x)=f(a) => por definición de continuidad, f es continua en x=a.

El recíproco no es cierto. Una función puede ser continua en un punto pero no derivable. Cualquier curva con una esquina o vértice en un punto no posee ahí una tangente. Esos puntos se llaman singulares, y esas funciones, funciones singulares.

Ilustraciones

• Consideremos la tangente a la curva f(x) en el punto P(a,f(a)).
  ¿Cómo se obtiene el ángulo α entre la tangente y el eje x positivo?
  El conocimiento de los valores a y f(a) no basta para determinarlo, puesto que hay un número infinito de rectas, aparte de la tangente, que pasan por P.
  Tampoco es necesario conocer la función f(x) en su comportamiento global; el conocimiento de la función en una vecindad arbitraria del punto P debe ser suficiente para determinar α. Esto indica que se debería definir la dirección de la tangente a una curva f(x) mediante un proceso de límite.

[pic 2]

• Consideremos un segundo punto P'(x,f(x)) sobre la curva, cercano a P.
  Por los dos puntos P y P' se traza una línea recta.
  Si el punto P' se mueve a lo largo de la curva hacia el punto P, entonces la recta PP' se aproxima a la tangente.

[pic 3]

                 Sea α' el ángulo que la recta PP' forma con el eje x positivo.

         Entonces limP'->P α' = α

                Considerando las coordenadas de los puntos P y P', se tiene:

                          f(x) - f(a)          cateto opuesto  

            tan α' =  -----------       ( ---------------- )

             x - a            cateto adyacente    

Así, nuestro proceso de límite está representado por la ecuación:

                          f(x) - f(a)

tan α = lim tan α' = lim  -----------

        x->a         x->a    x - a

A este límite se lo denomina derivada de la función f(x) en el punto a y se denota f'(a)

Aplicaciones de las derivadas

1. RECTA TANGENTE

La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

[pic 4]

[pic 5]

ECUACION DE LA RECTA TANGENTE:

La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es a f1 (a).

Y- F(a)= f1(a) (x-a)

PROBLEMA:

Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,-2) hallar el punto de tangencia.

• Se ha el punto de tangencia (a f(a))

F1 (x)= 3x2                                                                         f1 (a)= 3a2

              3a2=3                                                                                 a=+-1

• Las ecuaciones de las rectas tangentes son

a=1                                                                                    f(a)=1

Y-1= 3(x-1)                                                                       y= 3x-2

a= -1                                                                                  f(a)= -1

y+1= 3(x+1)                                                                      y= 3x + 2

• El punto (0,-2) pertenece a la recta                            y= 3x-2

Solución: el punto de tangencia será (1,1)

1.  CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO:

Crecimiento

Si f es derivable en a:

F es estrictamente creciente en a = f1 (a) > 0

Decrecimiento

Si f es derivable en a:

F es estrictamente creciente en a = f1 (a) < 0

Calculo de los intervalos de crecimientos y decrecimientos

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

F(x) = x3 – 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento  vamos a realizar los siguientes pasos:

1. Derivar la función.

F1 (x) = 3x2 -3

1. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f1 (x) = 0

3x2-3 = 0                           x= -1                           x= 1

1. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los   puntos de discontinuidad ( si los hubiera)            

[pic 6]

1. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f1 (x) > 0 es creciente

Si f1 (x) < 0 es decreciente

Del intervalo (-∞, -1) tomamos x= -2

F1 (-2) = 3 (-2)2  -3 > 0

Del intervalo (-1,1) tomamos x =0

F1 (0) = 3(0)2 -3 < 0

Del intervalo (1, ∞) tomamos x= 2

F1 (0) = 3(2)2 -3 > 0

[pic 7]

1. escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

De crecimiento: (−∞, -1) u (1, ∞)

De decrecimiento: (-1,1)

3. MAXIMOS Y MINIMOS

Máximos

Si f y f1 son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

• F1 (a) = 0
• F 1 1 (a) < 0

Minimos

Si f y f1 son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:

• F1 (a) = 0
• F 1 1 (a) > 0

              Calculo de los máximos y mínimos relativos

              F(x) = x3 – 3x + 2

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

F1 (x) = 3x2 – 3 = 0

X= -1           x=1

1. Realizamos la 2a derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de la derivada primera y si:

F 1 1 (x) >0 tenemos un mínimo.

F 1 1 (x) < 0 tenemos un máximo.

              F 1 1 (x) = 6x

              F 1 1 (-1) = -6 máximo

              F 1 1  (1) = 6 mínimo

1. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

F (-1) = (-1)3 – 3 (-1) + 2 = 4

F (1) =   (1)3 – 3 (1) + 2 = 0

Solución:

Máximo: (-1,4)                         mínimo (1,0)

Ejemplos

Si una empresa tiene un ingreso de $30 000 durante un mes de 30 días, su ingreso promedio por día es de $30 000/30 =  $ 1000, esto no significa necesariamente que el ingreso real fue de $1000 en cualquier día, solo que el promedio es de $1000 por día.

Otro ejemplo sencillo es:

Si una persona conduce un automóvil 50 millas en una hora, la velocidad promedio del automóvil es de 50 millas por hora, pero es probable que el conductor haya recibido una multa por manejar a 70 millas por hora en su viaje

 FORMULAS DE LA DERIVACIÓN

Derivada de f(x)=si podemos usar la definición de derivada para mostrar lo siguiente[:

Si f(x) =   X^2 entonces  f´ (x) = 2x

Si f(x) =   X^3 entonces  f´ (x) = 3x^2

Si f(x) =   X^4 entonces  f´ (x) = 4x^3

Si f(x) =   X^5 entonces  f´ (x) = 5x^4

REGLAS

REGLA DE LAS POTENCIAS DE X

Si f(x)= x^n, donde n es un número real entonces f´(x)=nx^n-1.

REGLA DE LA FUNCION CONSTANTE

Si f(x)= C, donde c es una constante, entonces f´(x)=0.

REGLA DEL COEFICIENTE

Si f(x)= c . u(x), donde c es una constante y u(x) es una función diferenciable de x  entonces f´(x)= c . u´ (x).

REGLA DE LA SUMA

Si f(x)= u(x) + v(x), donde u y v son funciones diferenciables de x  entonces f´(x)= u´ (x) + v´(x).

REGLA DE LA DIFERENCIA

Si f(x)= u(x) - v(x), donde u y v son funciones diferenciables de x  entonces f´(x)= u´ (x) - v´(x).

INGRESO MARGINAL

 Suponga que la función de ingreso para un producto esta dada por

R(x) = 10x + ____100x______

                      3x + 5

Donde x es el número de unidades vendidas y R se da en Dolares

1. Encuentre la función de ingreso marginal
2. Encuentre el ingreso marginal cuando x=15

SOLUCIÓN

1. Debemos usar la regla del cociente para encontrar el ingreso marginal (La derivada).

___                            ___(3x+5)(100)-100x(3)____

MR = R´(x) =  10 +                     (3x+5)^2

                               ___300x+500-300x____                     ___ 500___

=  10 +                     (3x+5)^2               =   10  +      (3x+5)^2

1. El ingreso cuando x = 15 es R´(15).

   ____500____ =  10 + __500__

R´(15) = 10 +  [(3)(15)+5]^2                          (50)^2

                                 = 10 + __500__= 10.20 (dólares por unidad)

                                          2500

Recuerde que R´ (15) es un estimado del ingreso por la venta del articulo 16.

GANANCIA MARGINAL

Al igual que el costo marginal y el ingreso marginal, la derivada de una función de ganancia para una mercancía nos dará  la función de ganancia marginal de la misma.

Si P = P(x) es la función de ganancia para una mercancía , entonces bla función de la ganancia marginal es MP = P’(x)

Si la ganancia total , en miles de dólares, de un producto se obtiene por medio  de                       P(x)-= 20√x+1-2x, ¿ cual es la ganancia marginal para un nivel de producción de 15 unidades?

SOLUCION.

La función de ganancia marginal es

   MP = P (x) = 20. ½(x+1) – ½ - 2 = 10/√x+1 -2

Si se producen 15 unidades la ganancia marginal es;

  P’ (15) =10/√15+1 -2= ½

Esto significa que la ganancia por la venta de la unidad 16 es de aproximadamente ½ (miles de dólares), o 500.

COSTO MARGINAL

Si C = C(x) es una función de costo total  para una mercancía, entonces su derivada  MC = C’(x), es la función de costo marginal.

La función lineal de costo con ecuación

 C(x) = 300 +6x (en dólares)

Tiene un costo marginal de $6 por unidad porque su pendiente es 6. Al tomar la derivada de C(x) se obtiene  MC = C’(x) = 6

Lo cual corrobora que el costo marginal es de $6 por unidad en todos los niveles de producción, la función de costo.

C(x) = 1. 000 +6x + x^2

Tiene la derivada

C’(x) = 6+2x

Por lo tanto el costo marginal en x = 10(cuando se producen 10 unidades) es

C’ (10)= 6 +2 (10)= 26 dólares por unidad

Y el  costo marginal en 40 unidades es        

C’ (40) =6+2(40)= 86 dólares por unidad.

BIBLIOGRAFIA

• MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA  Decimosegunda Edición

Ernest F. Haeussler Jr.

Richard S. Paul

Richard J. Wood

• MATEMATICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACION, ECONOMIA Y CIENCIAS SOCIALES

Septima edición  Mc-Graw Hill

HARSHBARCHER REYNOLDS

• http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm Consultado Miercoles 26 de Junio de 2013 (11:45 Pm)