ALGEBRA LINEAL *INGENIERÍA AMBIENTAL*

ALGEBRA LINEAL

*INGENIERÍA AMBIENTAL*

PROYECTO: DEFINICIÓN, ORIGEN Y APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

SEMESTRE: 1°                                                  GRUPO: “A”

 PROFESOR: ING. FILIBERTO COCOM CAAMAL

ALUMNO(A):

*DEYANIRE MONTSERRAT MOGUEL FRANCISCO.

*CUPUL CAUICH ISUI DANAÉ

*COCOM CHUC  OSCAR LEONARDO

*POOL QUIJANO CARLOS EMMANUEL

FECHA  DE ENTREGA: 09 DE SEPTIEMBRE DEL 2015

VALLADOLID YUC., A  SABADO 6  DE SEPTIEMBRE DE 2015

INTRODUCCIÓN

[pic 2]La magia poderosa de los números complejos, a pesar de ser tan hermoso por integrar la trigonometría, el álgebra y la geometría, es muy poco estudiado en la escuela básica y diversificado. Para muchos docentes, la finalidad de los números complejos está en poder calcular las raíces enésimas de la unidad. En los cursos de matemáticas básicas en la Universidad, apenas se esbozan algunas de sus propiedades más importantes, dejando de lado aspectos geométricos tan importantes como el estudio de las transformaciones y los movimientos del plano.

El poder de cálculo que se esconde detrás de los complejos, es algo mágico. Con un mínimo de esfuerzo, podemos derivar identidades y formulas trigonométricas que requieren de un trabajo tedioso y agotador, siguiendo los métodos usuales. Muchos conceptos de la matemática, como el de función, límites, series de potencias y continuidad se estudian de manera bastante natural dentro del ambiente de los números complejos. Los argumentos de prueba son mucho más intuitivos y transparentes en el plano.

DESARROLLO

ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos.

El avance en el tiempo de las matemáticas fue un proceso lento, debido al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente de definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos.

Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad.

 Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545. Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos números? ¿Por qué no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantes remontándonos a los orígenes del algebra.

Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar.

 Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos.

Por ejemplo la ecuación:

X2 + X + 5 = 0

No posee soluciones reales. Si empleamos la conocida formula de resolución de una ecuación de segundo grado, nos encontraremos con la raíz cuadrada de i19: Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban este tipo de problemas irresolubles.

Es completamente incorrecto decir que la aparición de los números complejos

se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello.

 La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cubicas.

Más adelante con el surgimiento del algebra durante la edad media, el concepto de número se amplia para manipular ecuaciones, desligadas de la geometría.

[pic 3]El numero imaginario (i) para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el s. XVII y están en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, reedescubierta por Gauss. La implementación más formal con pares de números reales fue dad en el siglo XIX.

DEFINICIÓN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

[pic 4]Un número complejo es un número de la forma a+bi, donde a y b son números reales, llamados parte real y parte imaginaria respectivamente, e i es la unidad imaginaria que se define como i = -1.

El conjunto de números complejos es C = {a+bi ⎜ a, b ∈ R}. Los números complejos con parte imaginaria no nula, es decir de la forma a+bi con b ≠ 0, se llaman números imaginarios y si además la parte real es nula, es decir son de la forma bi, se llaman números imaginarios puros.

Si la parte imaginaria del número complejo a+bi es nula, entonces se tiene el número real a+0i = a, de donde se deduce que R ⊂ C. Se dice que dos números complejos son iguales si lo son sus partes reales y sus partes imaginarias. Es decir, a+bi = c+di si se verifica a = c y b = d.

Ejemplo 1:

 a) 3-4i es un número complejo con parte real 3 y parte imaginaria -4.

b) El número real -2 se puede considerar como un número complejo con parte real -2 y parte imaginaria 0, ya que se puede escribir -2 = -2+0i.

c) 2 7 i es un número complejo con parte real 0 y parte imaginaria 2 7, por tanto, es un número imaginario puro.

 Dado un número complejo, a+bi, su conjugado es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria de signo contrario. Se representa a+bi = a-bi.

 Ejemplo

2: 3+4i = 3-4i, 4 3 - i = 4 3 + i, 5 = 5, 2i = -2i Se verifica que el conjugado del conjugado de un número complejo es el mismo número, es decir, a+bi = a+bi.

Algunas ecuaciones que no se pueden resolver en el conjunto de los números reales, tienen solución en el conjunto C. En general, se verifica que toda ecuación poli nómica con coeficientes reales de grado no tienen soluciones en el conjunto de los números complejos, pudiendo ser éstas números reales o imaginarios. Además, si tiene como solución un número imaginario, también es solución el conjugado de éste.

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