CLASIFICACIÓN DE SOLUCIONES EN ECUACIONES DIFERENCIALES

CLASIFICACIÓN DE SOLUCIONES EN ECUACIONES DIFERENCIALES

Soluciones Explicitas: cuando la variable dependiente se expresa únicamente en términos de la variable independiente y constantes, es decir, y = φ(x), ejemplos:

1) Y = 2x3, es solución explícita de la ED y’ -2y’’ + xy = -2x3

2) y=ex2, es solución explícita de la ED y’’ -2y’ +y = 0

3) y=x2-x , y=cosx y=1/1-x

Soluciones Implícitas: cuando la variable dependiente no se expresa en términos de la variable independiente sino que aparece como una relación entre la variable dependiente e independiente igualada a cero, ejemplos:

6x – 2y = 0 es una solución implícita de la ecuación y’ =3

X2 + y2 = 9 es una solución de la ecuación y’ = -xy

X2+xy+y2=0

Soluciones Particulares: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial.

Soluciones Generales: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes. En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente dey(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.

Soluciones Triviales: En general, entenderemos que una relación G(x, y) = 0 es una solución implícita para una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo “I”, siempre que exista una función φ que satisfaga tanto a la relación G como a la ED en ese intervalo

Y=0

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