Solucion De Ecuaciones Diferenciales Mediante Series De Potencia

Índice

Defina:

Punto Ordinario de una Ecuación Diferencial

Punto Singular de una Ecuación Diferencial

Punto Singular Regular e Irregular de una Ecuación Diferencial

Explique el Teorema de existencia de soluciones con Serie de Potencia

Indique el procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial mediante Series de Potencias y realice dos ejemplos, (uno de ellos que contenga en la ED coeficientes no polinomiales)

Explique el Teorema de Frobenius

Defina Ecuación Indicativa, y enuncie los diferentes casos posibles en esta ecuación. Para cada caso ejemplifique.

1.- Defina.

Punto ordinario de una Ecuación Diferencial.

Un punto ordinario de una Ecuación Diferencial de la forma y''+f(x)y'+g(x)y=0, es aquel punto xₒ en el cual ambas funciones f(x) y g(x) son analíticas, es decir pueden representarse en serie de potencias (x-xₒ) con radio de convergencia R>0

Ejemplo: Encontrar los puntos ordinarios de:

x(x^2-1)y''+xy'+(x+2)y=0

Primero estableceremos cuales son exactamente las funciones f(x) y g(x) dividiendo la ecuación entre x(x^2-1)

y'+y'/(x^2-1)+(x+2)/x(x^2-1) =0

Donde f(x)= 1/(x^2-1) y g(x)=(x+2)/x(x^2-1)

F(x) no es analítica en x=±1 G (g) no es analítica en x=0, x=±1

Los puntos ordinarios de la ecuación diferencial dada, son las x "±R" excepto por x=0, x=±1

Punto singular de una Ecuación Diferencial.

Un punto singular de una Ecuación Diferencial de forma y''+f(x)y'+g(x)y=0 es aquel punto xₒ, en el cual al menos una de las funciones f(x) y g(x) no tiene representación en series de potencias de (x-xₒ). Se observa por lo tanto, que un punto singular es un punto no ordinario.

Ejemplo: el punto xₒ=0 es un punto singular de la Ecuación Diferencial y''+x(ln⁡(x))y'=0, porque la función ln(x) no tiene una serie de potencias que la represente en cero

Ejemplo: Encontrar los puntos singulares de:

x^2 (x-1)y''+x^3 (x^2-1)y'+xy=0

Dividimos todo por x^2 (x-1) y establecemos que en F(x) y G(x)

F(x)= x(x+1) es analítica para todo x.

G(x)= 1/x(x-1) no es analítica en x= 1 x=0

Los puntos singulares de esta ecuación vienen dados por x=0 y x=1

Vemos que los coeficientes polinomiales darán puntos ordinarios en donde las funciones estén definidas y puntos singulares en donde no lo estén.

Punto singular regular e irregular de una Ecuación Diferencial.

Un punto singular regular de una Ecuación Diferencial de forma y^''+f(x) y^'+g(x)y=0, el punto x=xₒ es singular regular si las funciones (x-xₒ)f(x) y 〖(x-xₒ)〗^2g(x) son analíticas en x=xₒ.

Basta que lo sean en una velocidad de xₒ. Se trabajan como un límite. Si estas nuevas funciones no tienen representación en series de potencias, entonces x=xₒ se llama un punto singular irregular.

Teorema de existencia de soluciones con Serie de Potencia.

Si x=xₒ es un punto ordinario de la ecuación diferencial, siempre es posible encontrar dos soluciones linealmente independientes en forma de una serie de potencias cerrada en xₒ, es decir y=∑_(n-0)^z▒〖Cn (x-xₒ)^n 〗. Una solución en serie converge por lo menos en un intervalo definido por |x-xₒ|<R, donde R es la distancia desde xₒ al punto singular más cercano.

Se dice que una solución de la forma y=∑_(n-0)^z▒〖Cn (x-xₒ)^n 〗 es una solución respecto a un punto ordinario xₒ. El valor R es el valor mínimo o límite inferior del radio de convergencia de las soluciones en serie de la ecuación diferencial respecto a xₒ.

Indique el procedimiento para resolver una Ecuación Diferencial mediante Series de Potencias.

El método de series de potencias para resolver una ecuación diferencial consiste en sustituir las series de potencias: ∑_(n=0)^∞▒〖Cn X''〗 en la ecuación diferencial y después de determinar cuáles deben ser los coeficientes Cₒ, C1, C2… para que la serie de potencias satisfaga la ecuación diferencial. Antes de poder sustituir la serie de potencia en la ecuación diferencial antes descrita, primero se debe saber que sustituir en lugar de las derivadas y', y''.

Las Ecuaciones Diferenciales pueden ser resueltas mediante serie de potencia. La solución debe estar alrededor de un punto ordinario y no singular, esto se verifica observando el coeficiente de la derivada de mayor orden: P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0

Si P (xₒ)≠0 es un punto ordinario .

Si P (xₒ)= 0 es un punto singular

Para resolver una Ecuación Diferencial en series de potencias , utilizamos la serie de Taylor F(x)=∑_(n=0)^∞▒〖(f^((n) ) (a))/n! 〖(x-a)〗^n 〗

F(x)=F(a)+(f^' (a))/1! (x-a)+f^''(a)/2! 〖(x-a)〗^2+f^'''(a)/3! 〖(x-a)〗^3+ …….

Y se siguen los siguientes pasos:

Con el punto dado, se supone la solución en series de potencias.

Se deriva la solución y se remplaza en la ecuación diferencial.

Se hacen los cálculos pertinentes para que la ecuación diferencial quede en términos de una sola sumatoria.

Se obtiene la formula de recurrencia

Se evalúa tantas veces como sea necesario la fórmula para obtener los valores constantes.

Se expande la Ecuación Diferencial en series de potencias, se evalúan y sustituyen los valores constantes.

Ejemplo:

1)

Explique el Teorema de Frobenius.

El método es aplicable cuando se tienen puntos singulares regulares.

Si x = x^* es un punto singular regular de la EDO, existe al menos una solución en

serie de potencias de la forma:

y(x)= (x-x^* )^r ∑_(m=0)^∞▒〖Cm 〗 (x-x^* )^m

y(x)= ∑_(m=0)^∞▒〖Cm 〗 (x-x^* )^(m+r)

En donde el número r es una constante por determinar. La serie converge cuando menos en algún intervalo:

0 < x – x* < R

...