PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS

PROBLEMAS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIE DE POTENCIAS

Una ecuación diferencial de coeficientes variables de la forma:

                // [pic 1][pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

1. Se dice que  P(x) es analítica, si admite desarrollo en serie de potencias, con un determinado radio de convergencia. Implica que es derivable y continua en todo punto x0 de la región de convergencia.

1. Se dice que existe una solución en serie de potencias alrededor de un punto X0, si   admite:[pic 5]

[pic 6]

Donde:  en un coeficiente recursivo[pic 7]

1. Para que   admita una serie de potencias alrededor del punto X0 entonces P(x), Q(x)…  deben ser analíticas en X0.[pic 8][pic 9]

El punto X0 sobre el cual se desea determinar la solución de una ecuación diferencial se denomina punto crítico y puede ser de dos tipos:

PUNTO ORDINARIO.- Cuando P(x), Q(x)…  son analíticos en X0, esto implica que admiten desarrollo en serio de potencias alrededor de X0 (son derivables y continuas en X0).[pic 10]

PUNTO SINGULAR.- Cuando P(x), Q(x)…  no son analíticos en X0, por lo cual no existe un desarrollo de potencias en X0.[pic 11]

Ejemplo.-  Analizar los puntos críticos de la ecuación

     // *x[pic 12]

[pic 13]

El punto crítico es: x=0

  es continua y derivable en x=0[pic 14]

 es un punto ordinario[pic 15]

Ejemplo.- Analizar los puntos críticos de la ecuación diferencial

     // [pic 16][pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Analizando alrededor del X0 = 0

    X0 = 0   No es derivable[pic 21]

     No es analítica[pic 22]

         no es analítico[pic 23]

En x=0 existe un punto singular

Alrededor de X0 =1

         Es analítica en  X0 =1[pic 24]

   es analítico en X0 =1[pic 25]

 No es analítico en X0 =1[pic 26]

En X0 =1 existe un punto singular

SOLUCIÓN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS

Cuando X= X0 es un punto ordinario en la ecuación diferencial entonces admite solución de la forma:

[pic 27]

Donde es necesario determinar los coeficientes  [pic 28]

Como: [pic 29]

Construyendo las derivadas

[pic 30]

[pic 31]

Derivando nuevamente:  
[pic 32]

[pic 33]

Al reemplazar en la ecuación diferencial y manejar los subíndices de las sumatorias para que todas empiecen en un solo valor se encuentran dos ecuaciones en términos de .[pic 34]

1. Ecuación recursiva
2. Ecuación complementaria

Para ello se debe lograr:

1. Igualar potencias de (x-x0)
2. Uniformizar los índices de la sumatoria

Otro método alternativo es generar matricialmente la ecuación recursiva.

Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial alrededor de X=0

        //[pic 35][pic 36]

  [pic 37]

Analíticos en x=0                     x=0 Punto Ordinario

      [pic 38][pic 39][pic 40]

Reemplazando:

        [pic 41]

[pic 42]

          [pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 48][pic 47]

 Ecuación Recursiva [pic 49]

[pic 50]

                                                         [pic 51][pic 52][pic 53]

 [pic 54]

 [pic 55]

 [pic 56]

 [pic 57]

 [pic 58]

 [pic 59]

 [pic 60]

Coeficientes pares:   [pic 61]

 [pic 62]

 [pic 64][pic 63]

[pic 65]

FORMA MATRICIAL

Sea la ecuación diferencial:

[pic 66]

Que admite la solución en el punto ordinario   x=x0

[pic 67]

Se construye la matriz de la forma:

Ejemplo.-         Resolver:              alrededor de X = 0[pic 78]

                     [pic 79][pic 80][pic 81]

[pic 103][pic 102]

                                                          [pic 104][pic 105][pic 106]

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial            alrededor de X0 = 0[pic 107]

Sol:                       [pic 108][pic 109][pic 110]

 [pic 134]

 [pic 135]

     Ecuación Recursiva   [pic 138][pic 136][pic 137]

 [pic 139]

 [pic 140]

 [pic 141]

 [pic 142]

  [pic 144][pic 143]

[pic 145]

MÉTODO DE FROBENIUS

Se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales con puntos singulares. Estos pueden ser regulares ó irregulares

La solución que plantea Frobenius es de la forma:

[pic 146]

Donde:  v es un valor real a determinar

Entonces:                        [pic 147]

       [pic 148]

El objetivo es hallar inicialmente “v”, para luego generar las soluciones.

MATRICIALMENTE:        

1. Raíces distintas
2. Raíces Iguales
3. Raíces Múltiples

Ejemplo.- Resolver la Ecuación diferencial:             // ÷2        alrededor del punto X0=0[pic 156]

Sol:     [pic 157]

Punto Singular .-   Método de Frobenius

 [pic 158]

     [pic 159]

 [pic 160]

...