Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales

Variación de parámetros

[pic 1]

Hallamos las raíces

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Derivamos : [pic 16]

[pic 17]

Cuando reemplazamos en :[pic 18][pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

Cuando reemplazamos en :[pic 23][pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

Reemplazamos las constantes en [pic 30]

[pic 31]

Aplicación de la serie de potencias en la ED

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

Reemplazamos en la ED

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

Aplicación de la transformada de Laplace

1. Aplique la definición para encuentre la transformada de Laplace de las funciones siguientes aplicando la definición.

b)        [pic 53]

[pic 54]

Por definición:                         [pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

• [pic 60]

2. Usando tabla encuentre las transformadas de Laplace de las funciones siguientes.

b)  [pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

• [pic 65]

g)        [pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

• [pic 69]

3. Usando tabla encuentre las transformadas de Laplace de las funciones siguientes.

d)                [pic 70]

[pic 71]

[pic 72]

4. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales haciendo uso de las transformadas de Laplace.

a)

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

[pic 76]

[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

• [pic 80]

c)                [pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

Separamos por fracciones parciales

[pic 86]

[pic 87]

Por identidad de polinomios tenemos:

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

• [pic 93]

Encuentre:

[pic 94]

Aplicamos la propiedad de linealidad:

[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

Aplicamos el primer teorema de traslación:

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

Aplicación de Bernoulli: encuentre el valor de la siguiente E.D

[pic 102]

[pic 103]

[pic 104]

[pic 105]

[pic 106]

[pic 107]

[pic 108]

Ahora sustituimos en la E.D

[pic 109]

Multiplicamos a todo por   :[pic 110]

[pic 111]

[pic 112]

        [pic 113][pic 114]

[pic 115]

[pic 116]

Solución

[pic 117]

[pic 118]

[pic 119]

[pic 120]

[pic 121]

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGENEA

[pic 122]

[pic 123]

[pic 124]

Son homogéneas de grado 2

Sustituimos:

...