Ejercicios De Ecuaciones Diferenciales

INTRODUCCIÓN

En los primeros trabajos que se realizaron los pioneros a finales del siglo XIII, y principios de siglo XIX en la resolución de dos de las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) más importantes: la ecuación de ondas y la del calor.

La onda como aquella que describe las vibraciones de una cuerda fija en sus dos extremos, pudo ser resuelto (problemas de Cuerpos Vibrantes) previamente por series trigonométricas de algunos Científicos entre ellos Euler, Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulliy luego perfeccionado por las series de Fourier han generado un gran número de trabajos de investigación y han dado nombre a una de las áreas más importantes

Del Análisis Matemático, el Análisis de Fourier o Análisis Armónico.

En esta parte veremos dos procedimientos para resolver ecuaciones en derivadas parciales que surgen con frecuencia en .problemas donde aparecen vibraciones, potenciales y distribuciones de temperatura. Estos problemas se llaman problemas de valor en la frontera y se describen mediante ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden, que son relativamente simples. Lo que se hace es hallar las soluciones particulares de una ecuación en derivadas parciales reduciéndola a dos o más ecuaciones diferenciales ordinarias.

Historia

Las series de Fourier reciben su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que hizo importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas, que previamente habían sido consideradas por Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli Fourier introdujo las series con el propósito de resolver la ecuación (de conducción) del calor en una lámina de metal publicando sus resultados en 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ('Memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos'), y publicando su Théorie analytique de la chaleur ('Teoría analítica del calor') en 1822. Ideas previas en descomponer una función periódica en la suma de simples funciones de oscilación datan desde el siglo III a.C., cuando astrónomos antiguos propusieron un modelo empírico de movimiento planetario con base en epiciclo.

La ecuación del calor es una ecuación en derivadas parciales. Previamente al trabajo de Fourier, no se conocía solución alguna para la ecuación de calor en forma general, aunque se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de manera sencilla, en particular, si la fuente era una onda de seno o coseno. Estas soluciones simples a veces son llamadas valores propios. La idea de Fourier era modelar una fuente de calor compleja con una superposición (o combinación lineal) de simples ondas sinusoidales y para escribir la solución como una superposición de los correspondientes valores propios. A la superposición o combinación lineal se le llama Serie de Fourier.

Desde un punto de vista más actual, los resultados de Fourier son algo informales debido a la falta de precisión en la noción de la función matemática y la integración a inicios del siglo XIX. Después, Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Bernhard Riemann expresaron los resultados de Fourier con mayor precisión y formalidad.

Aunque el motivo original era resolver la ecuación de calor, tiempo después fue obvio que se podía usar la misma técnica a un gran conjunto de problemas físicos y matemáticos, especialmente aquellos que involucraban ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales sus soluciones únicas eran sinusoidales. Las series de Fourier tienen muchas aplicaciones en la ingeniería eléctrica, análisis de vibraciones, acústica, óptica, procesamiento de señales, retoque fotográfico, mecánica cuántica, econometría, la teoría de estructuras con cascarón delgado, etc.

Los precursores

Una serie trigonométrica es una expresión de la forma

a_o/2+∑_(k=1)^∞▒[a_o cos⁡〖(kx)〗+b_o sin(kx)]

Donde a_o y b_(o ) con k=0,1,2,…son constantes. Si tal serie converge para todo -∞<x<+∞, en algún sentido que precisaremos más adelante,

Entonces representara una función periódica de periodo 2π y bastara por tantos estudiar su restricción al intervalo [-π,π].

La cuestión de si una función arbitraria f(x) (con x 2 [¼; ¼]), puede

Expresarse como una expansión del tipo (2.1) aparece a mediados del siglo XVIII asociada a los estudios de L. Euler (1701-1783) y de D. Bernouilli (1700-1782) sobre el problema de la cuerda vibrante.

Bernouilli llega al punto de plantearse la solución del problema de la cuerda vibrante en forma de serie trigonométrica a partir de consideraciones de tipo físico, que le llevan a pensar que la cuerda oscila involucrando varias frecuencias al mismo tiempo, cuyas amplitudes respectivas dependen de la forma inicial de la vibración, es decir, del modo en que se haya empezado a mover la cuerda. Esta posibilidad, descubierta por Bernouilli, es lo que hoy llamamos principio de superposición y ha resultado ser un principio de gran importancia en muchas ramas de la Física matemática.

Sin embargo, Euler entiende que esta idea de Bernouilli lleva a un resultado aparentemente paradójico, de acuerdo con algunos conceptos matemáticos de su tiempo. A saber, el hecho de que una función \arbitraria “pueda ser expresada en forma de serie trigonométrica. Hay que tener en cuenta, que para los matemáticos contemporáneos de Euler, las curvas se dividan en dos clases: curvas \continuas 2 curvas \geométricas". En contraste con la terminología adoptada hoy en día, una curva se decía \continua “si sus orden nadas y sus abscisas podrán conectarse mediante alguna fórmula y = f(x).

Por otra parte una curva se denominaba \geométricas podrá dibujarse de alguna forma con trazos continuos o discontinuos. Pensaban por tanto, que la segunda categoría de curvas era más amplia que la primera, ya que lo que nosotros denominamos como una función continua a trozos, puede dibujarse, pero no puede expresarse si no es con varias fórmulas (sobre el desarrollo del concepto de función, puede consultarse [Lu].) Así, si una función \arbitraria “podría expresarse, por ejemplo, como una serie de senos (es decir, como

(2.1), Pero con ak = 0 para k = 0; 1; 2; : : :), esto signataria que cualquier curva \geometrica"sería también una curva \continua", lo cual, para Euler

Y sus contemporáneos, era simplemente increíble.

Por otra parte, para contribuir más aun a este debate, la solución al problema

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