ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES  (EDP)

Es una ecuación diferencial en la cual la función incógnita depende de varias variables independientes.

Ecuación de la Onda

        [pic 2]                                       :     Una dimensión       :      función desconocida:     [pic 3]

[pic 4]           :     Dos dimensiones    :       función desconocida:    [pic 5]

Ecuación de la conducción de calor

     [pic 6]                                        :      Una dimensión        :      función desconocida:     [pic 7]

[pic 8]         :      Dos dimensiones     :      función desconocida:    [pic 9]

Ecuación de Laplace

                [pic 10]                        :        Dos dimensiones   :       función desconocida:   [pic 11]

Solución de una EDP

Se dice que una función [pic 12]es una solución de una EDP si al reemplazarla en la EDP se obtiene una identidad.

[pic 13]

Métodos de solución

En muchos de los problemas físicos se tienen dos o más variables independientes, por ello los modelos matemáticos correspondientes incluyen EDP en vez de EDO. Un método importante para resolver EDP, conocido como método de separación de variables (para utilizar éste método la ecuación debe ser  lineal y homogénea y las condiciones de frontera también deben ser  homogéneas). Su característica esencial es la sustitución de la EDP por un conjunto de EDO. La solución requerida de la EDP se expresa entonces como  una sumatoria, la cual es casi siempre una serie infinita, formada a partir de las soluciones de la EDO. En muchos casos, al final es necesario trabajar con una serie de funciones senos o cosenos o los dos, de modo que analizaremos esas series, llamadas series de Fourier. El uso del método de la separación de variables se ilustra con diversos problemas que surgen de la conducción del calor, la propagación de ondas y la teoría del potencial.

APLICACIONES DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

ECUACION UNIDIMENSIONAL DE LA ONDA      

Suponga que una cuerda elástica de longitud “L” está tensa entre dos puntos fijos a cierto nivel horizontal. Suponga que la cuerda se pone en movimiento de modo que vibre en un plano vertical.

Si se denota por [pic 14] al desplazamiento vertical experimentado por  la cuerda en el punto “x”, en el instante “t”.[pic 15][pic 16]

                                  FIGURA 1

                                                                                                                                           FIGURA 2

Si se considera que la amplitud del movimiento no es muy grande y además se consideran despreciables la resistencia del aire y los efectos de la amortiguación, entonces [pic 17]satisface la ecuación diferencial en derivadas parciales: [pic 18]tal que [pic 19]

El coeficiente [pic 20]está dado por [pic 21]donde [pic 22]es la tensión en la cuerda y [pic 23]es la masa por unidad de longitud del  material de la cuerda, por lo que “[pic 24]”está dado en [pic 25]es decir [pic 26].

Condiciones de frontera (se supone que los extremos de la cuerda permanecen fijos)

[pic 27]: desplazamiento vertical de la cuerda en el punto ubicado en [pic 28] en cualquier instante “t”.

[pic 29]: desplazamiento vertical de la cuerda en el punto ubicado en [pic 30] en cualquier instante “t”.

[pic 31]: desplazamiento vertical de la cuerda en el punto ubicado en [pic 32] en cualquier instante “t”.

[pic 33]: desplazamiento vertical de la cuerda en el punto ubicado en [pic 34] en cualquier instante “t”.

Condiciones iniciales

[pic 35]: desplazamiento vertical de cualquier punto de la cuerda en el instante t=0 (posición inicial).

[pic 36]:velocidad de cualquier punto de la cuerda en el instante t=0 (velocidad inicial).

Si la cuerda se estira y se la suelta desde el reposo, [pic 37].

Para hallar la solución:[pic 38];[pic 39]de la ecuación [pic 40]”en el caso 2”

Dado que la ecuación es lineal y homogénea y las condiciones de frontera también son homogéneas, es posible aplicar el método de separación de variables, es decir, se buscan soluciones que tengan forma de producto de una función sólo de “x” y una función solo de “t”, por lo tanto se supone que:

[pic 41]tal que [pic 42]y [pic 43]

A partir de esta suposición se puede deducir que: [pic 44]y[pic 45]                                                               (1)

• [pic 46]

Puesto que [pic 47]de acuerdo a las condiciones de frontera:

[pic 48] entonces: [pic 49]    ó   [pic 50]; pero [pic 51]no es posible de acuerdo  a la suposición de [pic 52].Por lo tanto, [pic 53].                                          

• [pic 54]

Puesto que [pic 55]de acuerdo a las condiciones de frontera:

[pic 56] entonces: [pic 57]    ó   [pic 58]; pero [pic 59]no es posible de acuerdo  a la suposición de [pic 60].Por lo tanto, [pic 61].                          

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