Constitucion

DISTRIBUCION "F" FISHER

La necesidad de disponer de métodos estadísticos para comparar las varianzas de dos poblaciones es evidente a partir del análisis de una sola población. Frecuentemente se desea comparar la precisión de un instrumento de medición con la de otro, la estabilidad de un proceso de manufactura con la de otro o hasta la forma en que varía el procedimiento para calificar de un profesor universitario con la de otro.

Intuitivamente, podríamos comparar las varianzas de dos poblaciones, y , utilizando la razón de las varianzas muestrales s21/s22. Si s21/s22 es casi igual a 1, se tendrá poca evidencia para indicar que y no son iguales. Por otra parte, un valor muy grande o muy pequeño para s21/s22, proporcionará evidencia de una diferencia en las varianzas de las poblaciones.

La variable aleatoria F se define como el cociente de dos variables aleatorias ji-cuadrada independientes, cada una dividida entre sus respectivos grados de libertad. Esto es,

donde U y V son variables aleatorias ji-cuadrada independientes con grados de libertad y  respectivamente.

Sean U y V dos variables aleatorias independientes que tienen distribución ji cuadradas con grados de libertad, respectivamente. Entonces la distribución de la variable aleatoria está dada por:

y se dice que sigue la distribución F con grados de libertad en el numerador y grados de libertad en el denominador.

La media y la varianza de la distribución F son:

para

para

La variable aleatoria F es no negativa, y la distribución tiene un sesgo hacia la derecha. La distribución F tiene una apariencia muy similar a la distribución ji-cuadrada; sin embargo, se encuentra centrada respecto a 1, y los dos parámetros proporcionan una flexibilidad adicional con respecto a la forma de la distribución.

Si s12 y s22 son las varianzas muestrales independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones normales con varianzas  y , respectivamente, entonces:

Para manejar las tablas de Fisher del libro de Introducción a la Inferencia Estadística del autor Güenther, se tendrá que buscar primero los grados de libertad dos para luego localizar el área correspondiente, relacionándola con los grados de libertad uno, para calcular el valor de F.

Las tablas tienen la siguiente estructura:

P 1 2 3 ……. ….. 500 …

6 0.0005

0.001

0.005

.

.

0.9995 30.4

El valor de 30.4 es el correspondiente a una Fisher que tiene 3 grados de libertad uno y 6 grados de libertad dos con un área de cero a Fisher de 0.995. Si lo vemos graficamente:

Como nos podemos imaginar existen varias curvas Fisher, ya que ahora su forma depende de dos variables que son los grados de libertad.

Ejemplos :

1. Encontrar el valor de F, en cada uno de los siguientes casos:

a. El área a la derecha de F, es de 0.25 con =4 y =9.

b. El área a la izquierda de F, es de 0.95 con =15 y =10.

c. El área a la derecha de F es de 0.95 con con =6 y =8.

d. El área a la izquierda de F, es de 0.10 con con =24 y

=24

Solución:

a. Como el área que da la tabla es de cero a Fisher, se tiene que localizar primero los grados de libertad dos que son 9, luego un área de 0.75 con 4 grados de libertad uno.

b. En este caso se puede buscar el área de 0.95 directamente en la tabla con sus respectivos grados de libertad.

c. Se tiene que buscar en la tabla un área de 0.05, puesto que nos piden un área a la derecha de F de 0.95.

d. Se busca directamente el área de 0.10, con sus respectivos grados de libertad.

1. Si s12 y s22 son las varianzas muestrales de muestras aleatorias independientes de tamaños n1=10 y n2 =20, tomadas de poblaciones normales que tienen las mismas varianzas, encuentre P(s12/s22 2.42).

Solución:

Primero se establecen los grados de libertad. Como en el numerador está la población uno y en el denominador la población dos, entonces los grados de libertad uno equivalen a 10-1=9 y los grados de libertad dos a 20-1=19.

Se procede a ir a la tabla a buscar los grados de libertad dos que son 19 y se observa que no están, por lo tanto se tiene que interpolar entre 15 y 20 grados de libertad, buscando el valor de fisher que quedaría:

Este valor de 2.42 se busca en la columna de 9 grados de libertad uno, con 15 grados de libertad dos, y se encuentra los siguiente:

Area

0.90 2.09

0.95 2.59

Al interpolar entre estos dos valores nos queda un área de 0.933.

Se procede a hacer lo mismo pero con 20 grados de libertad dos:

Area

0.95 2.39

0.975 2.84

Al interpolar entre estos dos valores nos queda un área de 0.9516.

Ahora ya se tienen las dos áreas referentes a los grados de libertad dos, por lo que se interpolará para ver cuánto le corresponde a los grados libertad dos con un valor de 19.

Area

15 0.933

20 0.9516

Al interpolar nos queda que para 9 grados de libertad uno y 19 grados de libertad dos con un valor de Fisher de 2.42 el área a la izquierda es de 0.9478.

2. Si s12 y s22 representan las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamaño n1= 25 y n2 = 31, tomadas de poblaciones normales con varianzas 12 =10 y

22 = 15, respectivamente, encuentre P(s12/s22 > 1.26).

Solución:

Calcular el valor de Fisher:

Luego se va a la tabla de Fisher a buscar 30 grados de libertad 2 con 24 grados de libertad uno. Cuando se este en esta posición se busca adentro de la tabla el valor de Fisher de 1.89. Al localizarlo y ver a la izquierda de este valor se obtiene un área de 0.95, pero esta área correspondería a la probabilidad de que las relaciones de varianzas muestrales fueran menor a 1.26, por lo que se calcula su complemento que sería 0.05, siendo esta la probabilidad de que s12/s22 > 1.26.

Intervalo de Confianza para el Cociente de Varianzas de Dos Distribuciones Normales

Supóngase que se tienen dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas 2 y 22, respectivamente. De este par de poblaciones, se tienen disponibles dos muestras aleatorias de tamaños n1 y n2, respectivamente, sean s12 y s22 las dos varianzas muestrales. Se desea conocer un intervalo de confianza del 100( ) por ciento para el cociente de las dos varianzas, 12/ 22.

Para construir el intervalo

...