Ingenieria

Análisis de Fourier

El análisis de Fourier permite determinar la amplitud y fase de cada una de las componentes de frecuencia que tiene una señal.

Transformadas de Fourier

En matemática, la transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una aplicación que hace corresponder a una función f, con valores complejos y definidos en la recta, con otra función g definida de la manera siguiente:

Donde f es , es decir, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y suelen estar asociadas a dimensiones (como el espacio -metros-, frecuencia -herzios-.) y entonces es correcto utilizar la fórmula alternativa:

de forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente adimensional.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios defunciones generalizadas.

Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f.

La integral:

F(ω)=∫_(-∞)^(+∞)▒〖f(t) e^(-jcot) dt〗

establece una correspondencia entre las funciones f(t) y F(ω).

La integral anterior es igual a la convolución de f(t) con el kernel de la integral de Fourier (sen σt)/πt, tiende a f(t)en todo punto de continuidad de f(t) si σ→∞. Si f(t) es discontinua en un punto t entonces la figura 3-2.

f_σ (t)→(f(t^+ )+f(t^-))/2

Nota: si f(t) es discontinua en t=t_0, en la vecindad de t_0 la función f_σ (t) no se acerca a f(t) aunque σ sea muy grande. Al acercarse a t a t_0,f_σ (t) osila rápidamente (fenómeno de Gibbs), sin embargo, para σ grande, el rizado se concentra cerca de t_0 no afectando a ningún punto t≠t_0.

Espectro lineal y series de Fourier

Espectro: representación gráfica de los componentes de frecuencia de una señal.

Las propiedades de la función δ(t) se basan en la identidad

Válida para cualquier φ(t) continua en t=0. De lo anterior se sigue que

Por consiguiente la transformada

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