Reseña Historica Del Calculo Vectorial

Reseña Histórica del Calculo Vectorial

El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

• Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.

• Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo vectorial.

• Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse o converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.

• Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

Historia

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial.

Este trabajo se debe principalmente al físico americano Josiah Willar Gibbs (1839-1903).

Vectores y Cuaterniones

Ya comentamos en nuestra introducción la importancia de los trabajos del alemán Hermann G. Grassmann en el desarrollo de las nuevas álgebras que estaban por venir en la segunda mitad del siglo XIX. Después de proponer en su Ausdehnungslehre nuevas bases para todas las matemáticas, comenzando con definiciones de naturaleza más bien filosófica, Grassmann demostró que si la geometría se hubies expresado en forma algebraica como él proponía, el número tres no hubiese desempeñado el papel preponderante que hoy día tiene como número que expresa el espacio que nos rodea; de hecho, el número de posibles dimensiones de interés para la geometría es ilimitado. Grassmann no pudo formalizar su trabajo ya que en aquel momento no existía un lenguaje algebraico adecuado donde sus ideas pudieran ser plasmadas. Sin embargo, su álgebra lineal fue comprendida y reconocida finalmente alrededor de 1920, cuando Hermann Weyl y otros publicaron su definición formal que ya había sido estudiada y formulada 30 años atrás por el matemático italiano Giusseppe Peano (1858-1932). Grassmann desarrolló la teoría de la independencia lineal de modo extraordinariamente similar a la presentación que hoy día podemos encontrar en los textos modernos de álgebra lineal. Definió la noción de subespacio, independencia, longitud, desdoblamiento, dimensión, unión e intersección de subespacios, y proyección de elementos en los subespacios. Fue a principios del siglo XX cuando los trabajos de Grassmann comenzaron a ser considerados y valorados. Sin embargo a pesar de ello tuvo algunos incondicionales como su compatriota Hermann Hankel (1839-1873), que escribió Theorie der complexen Zahlensysteme und ihre Functionen en 1867, donde llevó a cabo una clara y concisa comparación desde el punto de la notación del cálculo cuaterniónico con el grassmaniano. De hecho, previamente el propio Grassmann encontró una forma de reducir su cálculo al formalismo de los cuaterniones.

El trabajo de Grassmann consistió fundamentalmente en una generalización del actual producto vectorial, de ahí su valor. Grassmann se guió de su intuición geométrica, definiendo un nuevo producto que en la actualidad se denomina producto exterior (ab = a ∧ b) que él denominaba producto escalón, relacionado íntimamente con el actual producto vectorial, pero sin la restricción de una dimensionalidad fija de éste. Debido a un actual abuso de la notación, algunos docentes y profesores expresan erróneamente el producto vectorial con el símbolo ∧, a pesar de que conceptualmente son diferentes en origen y formulación, ya que el producto exterior es asociativo, mientras que el producto vectorial o producto cruz no lo es al ser un álgebra de Lie. El descubrimiento de los cuaterniones nunca colmaron las expectativas que Hamilton había depositado en ellos con el fin de crear un lenguaje matemático aplicable a la realidad física. Sin embargo, Hamilton contó con un ingente número de defensores a ultranza en favor de la utilización de los cuaterniones en el desarrollo de la física. Entre ellos caben

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