Test

aboratorio IV

4. Considera las siguientes dimensiones del techo del edificio del Capitolio en Washington y resuelve lo que se te indica.

- Eje mayor: 180 metros

- Eje menor: 90 metros

- Supón que el eje focal se encuentra sobre el eje de las x.

a) Determina la ecuación de la forma elíptica del techo considerando su C (0, 0).

Para obtener la ecuación canónica de una elipse es necesario conocer los semiejes, el centro y el eje longitudinal. o focal. Los semiejes son

a = Semieje mayor = 180/2 = 90

b = Semieje menor = 90/2 = 45

El semieje mayor ira al denominador del eje focal en la ecuación, es decir debajo de la x

(x−x0)2a2+(y−y0)2b2=1siendo(x0,y0)el centro. La ecuación canónica u ordinaria es:x2902+y2452=1

b) Obtén todos los elementos que componen a la forma elíptica del techo.

Para conocer otros datos es preciso calcular la semidistancia focal que se llama c y es la mitad de la distancia entre focos. Y se calcula así

c=a2−b2−−−−−−√=902−452−−−−−−−−√=8100−2025−−−−−−−−−−√=6075−−−−√=453√

Los focos estarán a esa distancia del centro sobe el eje X, uno a cada lado.

Los elementos son estos

Eje mayor que es la distancia: 2a = 190 m

Semieje mayo: a = 90 m

Semieje menor: b = 45 m

Semi -distancia focal: c: = 45sqrt(3) = 77.94228634 m

Eje focal o longitudinal: Eje X

Focos (-45sqrt(3), 0) y ( 45sqrt(3), 0) o en decimal

(-77.94228634, 0) y (77.94228634, 0)

c) Convierte a su forma general la ecuación ordinaria que obtuviste en el inciso a.

x2902+y2452=1 452x2+902y2902452=1 452x2+902y2=902452 Dividimos por 452x2+4y2=902x2+4y2−8100=0

d) Determina la ecuación general de la forma elíptica del techo suponiendo que el centro está en C (12, –9).

d) C(12,-9)

Si a los puntos (x,y) de la elipse nueva les restamos (12,-9) tendremos los de la vieja que cumplen la ecuación que calculamos antes

(x−12)2+4(y+9)2−8100=0 x2−24x+144+4y2+72y+324−8100=0 x2+4y2−24x+72y−7632=0

e) A partir de la forma general de la ecuación de la elipse que obtuviste en el inciso d, obtén la ecuación en su forma ordinaria.

x2+4y2−24x+72y−7632=0 (x−12)2=x2−24x+144⟹x2−24x=(x−12)2−1444 (y+9)2=4y2+72x+324⟹4y2+72x=4(y+9)2−324 Sustituimos esto en la ecuación (x−12)2−144+4(y+9)2−324−7632=0 (x−12)2+4(y+9)2−8100=0 (x−12)2+4(y+9)2=8100 (x−12)28100+4(y+9)28100=1 (x−12)2902+(y+9)22025=1 (x−12)2902+(y+9)2452=1

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