3 APLICACIONES DE LA DERIVADA PARA LA ADMINISTRACIÓN

Republica Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Instituto Universitario de Tecnología Readic

Maracaibo Edo- Zulia

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Realizado por:

Georghe Harding

C.I. 22.479.112

Sección: E-111

Asignatura: Matemática

Carrera: Administración

Maracaibo Agosto del 2013

3 APLICACIONES DE LA DERIVADA PARA LA ADMINISTRACIÓN

• COSTO TOTAL, COSTO PROMEDIO, COSTO MARGINAL Y COSTO MARGINAL MEDIO

El costo total es la suma del costo fijo total y del costo variable total a cada nivel de producción.

* El costo fijo total está constituido por los costos que no varían a medida que la producción cambia y deben pagarse aunque la producción sea nula. Estos son los pagos que la empresa debe hacer en el corto plazo sin importar su nivel de producción.
* Y el costo variable total está constituido por costos que son 0 cuando la producción es nula y varían a medida que la producción lo hace. Estos costos se constituyen por el importe de los insumos variables. Entre más insumos utiliza la empresa para producir mayores son sus costos variables.
Si el costo total y de producir y comercializar x unidades de un artículo se supone que están en x solamente, entonces la función del costo total se puede representar mediante la expresión y=f(x).

Las propiedades del costo total son:

 Cuando el número de unidades producidas es igual a 0, el costo total es nulo o positivo es decir f(0) > 0 si f(0) > 0, entonces f(0) representa el costo o los costos fijos de producción.

 El costo total se incrementa a medida que x aumenta, así que f’(x) es siempre positiva.
El costo total de producir una cantidad en extremo grande de cualquier artículo alcanza por lo común un punto en el cual aumenta con tasa creciente. Por lo tanto, y en términos generales, la curva del costo total es cóncava hacia arriba (a partir de cierto valor de x). f’’(x) > 0, sin embargo en los niveles inicial es de producción la curva del costo total suele ser cóncava hacia abajo lo que corresponde a un costo marginal decreciente.

La función del costo total se representa por: y=f(x), entonces el costo promedio (es el costo total dividido entre la cantidad de producción): y=yx= f(x)x y el costo marginal (cambio en el costo total cuando se produce una unidad adicional, es decir relación entre el cambio del costo total y el cambio en una unidad en la producción dydx = f’(x). La primera derivada del costo promedio (costo marginal medio) es: dydx= (xf´(x)-f(x))x2 Así pues el costo promedio es mínimo en el valor de x para el cual el costo promedio y el costo marginal son iguales; es decir, las curvas de costo marginal y costo promedio se intersectan en el punto de mínimo costo promedio. Obsérvese que el valor de x (si existe) para el cual dydx =0 se supone que es mínimo debido a la tercera propiedad de las curvas de costo antes mencionada; en el caso de una curva particular de costo total, la existencia de ese mínimo puede ser comprobada en la forma usual.
EJEMPLO:
Consideración acerca de las funciones de costo cuadráticas:
* Costo total y=ax²+bx+c, en donde a > 0, b > 0, c > 0.
* Costo promedio: y=yx=ax+b+cx
* Costo marginal: dydx =2ax+b
* Costo marginal medio: dydx= a-(cx2)
* El costo total se representa por la parte de una parábola correspondiente al primer cuadrante, el costo promedio se representa a su vez por la rama de una hipérbola situada en el primer cuadrante y el costo marginal por una línea recta.
* dydx= 0 si ax²=c
x=±c/a, pero solo x=c/a es de interés.
dy²dx2= -2cx/x4= 2c/x³>0, así que hay un mínimo en x=c/a .
Nótese que el costo promedio y el costo marginal son iguales si x=c/a ya que y=ac/a +b+cc/a = 2ac + b.
Y dydx=2ac/a + b = 2ac + b.

• INGRESO, INGRESO MARGINAL Y ELASTICIDAD DE LA DEMANDA.

Para cualquier función dada de demanda y=f(x), el ingreso total R=f(x) está dado por el producto de x, el número de unidades demandadas y y el precio por unidad de cantidad demandada.

R=f(x)=x.y=xf(x)
Y el ingreso marginal con respecto a la demanda es: dRdx=Xdydx+y

 La elasticidad de la demanda con respecto al precio es: Y, ya que dxdy=1dydx, ExEy=yx(1dydx)  dydx=yX(ExEy)  Así dRdx=yExEy+y =y(1+1ExEy)

Como alternativa, dRdx=xdydx+y =yxydydx+1 =y(1+EyEx)  =y1+1ExEy Esto es, el ingreso marginal es el producto del precio unitario y uno más el reciproco de la elasticidad de la demanda.

Ya que ambos x y y son cero o positivos, el ingreso total R=xy, es así mismo cero o positivo; sin embargo el ingreso marginal puede ser positivo o negativo.
NOTA: Lógicamente R podría también ser considerado como la función del precio. R=F(x)=xy=y·g(y)=G(y).

Y el ingreso marginal con respecto al precio definido como: dRdy=ydxdy+x
Esto podrá quizá ser más sencillo para casos cuando la función de demanda está en la forma y=g(y) y la cuál no es fácil resolver para y en términos de x. Sin embargo, para mantener convenientemente la representación geométrica (esto es, usar x como la variable independiente), es preferible utilizar derivación implícita y la regla de la cadena para obtener:dRdx y d2Rdx2 cuando la función de demanda está en la forma x=g(y).

EJEMPLO
La relación de demanda para un bien particular es dada mediante la expresión:
y=(12-x)12 para 0≤x≤12

En donde x es la cantidad demandada y y es el precio por unidad.
Determinar el precio y la cantidad para las cuales el ingreso es máximo. Demostrar para esta función de demanda que la relación entre el ingreso marginal y la elasticidad de demanda se conserva

Demanda: y=(12-x)12 para 0≤x≤12

Ingreso: R=X (12-x)12 dRdx=(12-x)1/2-12x(12-x)-1/2 =(12-x)-1/212-x-12x =3(8-x)2(12-x)12 = 0 si x=8, y=16
d2Rdx2=32-(12-x)1/2-8-x-12 (12-x)1/212-x =32(12-x)-1/2-12+x+12(8-x)12-x =34x-16(12-x)3/2 <0 si x=8, así que hay un máximo en x = 8, y =16
<0 para 0 ≤x<12, por lo que no existe punto de inflexión.
Por consiguiente R=(12-x)1/2es cóncava hacia abajo para 0≤x≤12.
ExEy=yx·dydx =yx1dydx =(12-x)1/2x1-12(12-x)-1/2 =-2(12-x)x dRdx=y1+1ExEy =(12-x)1/21-x2(12-x) =12-x1/2(24-3x)2(12-x) =3(8-x)2(12-x)1/2

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