Algunas aplicaciones EDO

Universidad Nacional Autónoma de Honduras[pic 1]

Departamento de Matemáticas

DIFERENCIALES MM-411 1er. PERIODO 2016

Aplicaciones de EDO de primer orden: Trayectorias Ortogonales, Modelo de Crecimiento Logístico y Ley de Torricelli

Presentado por:

Fany Vanessa López    20132000706

Katy Waleska Amaya    20112001819

Jessica Aracely Reyes 20102001689

Sección:

10:00

Índice

Introducción        

1.        Objetivos        

2.        Contenido        

2.1.        Trayectorias Ortogonales        

2.2.        Modelo de  crecimiento logístico        

2.2.1.        Modelo Malthusiano        

2.2.2.        Modelo Logístico        

2.2.3.        Modelo Verhulst        

2.2.4.        Ejemplos        

2.3.        Ley de Torricelli        

2.3.1.        Antecedentes Históricos        

2.3.2.        Teorema de Torricelli        

2.3.3.        Caudal Descargado        

2.3.4.        El coeficiente de descarga        

2.3.5.        Ejemplo        

3.        Conclusiones        

Bibliografía        

        Introducción

Una ecuación que contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente  se podría interpretar como una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.).

En este trabajo presentaremos tres de las aplicaciones de EDO de primer orden: Trayectorias ortogonales, Modelo de crecimiento logístico y Ley de Torricelli. Cada una de ellas tiene campos de investigación en la vida real. Las trayectorias ortogonales tienen aplicación como líneas isotérmicas entre otras, la aplicación del crecimiento logístico nos puede proporcionar un censo de población de alguna especie en determinado lugar y a partir de la ley Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. El finalizar el trabajo tendremos una idea más amplia de las aplicaciones de EDO de primer orden, campos en los cuales son utilizadas y la resolución de problemas generales.

1. Objetivos

• Descubrir una ecuación diferencial de primer orden que describa una situación física específica.
• Determinar la solución o familia de soluciones,
• Interpretar los problemas  del mundo real en términos matemáticos y construir un modelo matemático de las trayectorias ortogonales, crecimiento logístico y ley de Torricelli.  

1. Contenido

1. Trayectorias Ortogonales

Johann Bernoulli (Basilea, 1667-1748) fue el décimo hijo de Nicolás y Margaretha Bernoulli. Hermano menor de Jacob Bernoulli. En un principio optó por el campo de las humanidades y la medicina, más tarde se dedicó a las ecuaciones diferenciales, la mecánica y la geometría. Durante 1691-1692 escribió sobre el cálculo diferencial e integral, no obstante fueron publicados hasta 1922. Hizo diversos estudios acerca del problema de los isoperímetros, braquistócronas, las trayectorias ortogonales, etc. Se rumora que muchas veces por cuestiones de dinero, Johann Bernoulli vendió sus trabajos matemáticos, uno de ellos fue la famosa "Regla de L'Hôpital" para dividir un polinomio. Entre otros trabajos se le atribuye la invención del cálculo exponencial ya que en ciertas cartas a Leibnitz habla sobre la construcción de curvas exponenciales.

Cuando se hablamos de trayectorias ortogonales nos referimos a dos familias de curvas que se intersecan entre ellas formando ángulos de 90 grados (perpendiculares). Imaginemos que tenemos frente a nosotros el globo terráqueo, en él se encuentran dos familias de curvas una de ellas son los meridianos y las otras los paralelos; Por ejemplo El Ecuador corta perpendicularmente a los meridianos  en efecto podría decirse que El Ecuador que pertenece a la familia de los  meridianos constituyen las trayectorias ortogonales con la familia de los paralelos.

       Si una familia de curvas tiene la ecuación F(x,y,y`)=0, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a ella es otra familia de la forma:

F(x, y, ) =0[pic 2]

       Para obtener trayectorias ortogonales de una ecuación diferencial, se toma  m1 =   = f(x, y), y como m2 = -  →   = -  da la trayectoria ortogonal a la primera ecuación (Jover, 1998, pág. 24). [pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Algunas de las aplicaciones de las trayectorias ortogonales:

• Campo escalar
• Campos vectoriales
• Curvas equipotenciales  
• El gradiente
• Líneas de campo magnético
• Líneas equidistantes
• Líneas isotérmicas o isobáricas, etc.

Ejemplo; Obtener las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curva:

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