Contabilidad

La programación lineal

Es un método de resolución de problemas que se ha desarrollado para ayudar a los administradores a tomar decisiones. Su éxito se mide por la difusión de su uso como una herramienta de la toma de decisiones. Desde su aparición a finales de la década de 1940, la programación lineal (PL) ha demostrado que es una de las herramientas más efectivas de la investigación de operaciones. Su éxito se debe a su flexibilidad para describir un gran número de situaciones reales en las siguientes áreas: militar, industrial, agrícola, de transporte, de la economía, de sistemas de salud, e incluso en las ciencias sociales y de la conducta. Un factor, importante en el amplio uso de esta técnica es la disponibilidad de programas de computadora muy eficientes para resolver problemas extensos de PL.

Algunos ejemplos de aplicaciones clásicas de la programación lineal son:

Un fabricante desea elaborar un programa de producción y una política de inventarios que satisfaga la demanda de ventas en periodos futuros. De forma ideal, el programa y la política permitirán a la compañía satisfacer la demanda y al mismo tiempo minimizar los costos totales de producción e inventarios.

Un analista financiero debe seleccionar una cartera de inversiones a partir de diversas alternativas de inversión en bonos y acciones. Al analista le gustaría establecer la cartera que maximice el rendimiento sobre la inversión.

ESTRUCTURA BÁSICA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)

Un problema de PL consta de una función objetivo (lineal) por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades.

Supuestos y limitaciones

Debe recordarse que un modelo es una abstracción de la realidad y no la realidad misma. Por tanto, en cierto sentido es una representación incompleta de la realidad, en donde se pretende ganar entendimiento y definición de la estructura del sistema en el cual se tiene el problema, cediendo a cambio cierta cantidad de realidad. El modelo general de la P.L., tiene entonces ciertas suposiciones y limitaciones implícitas, de las cuales se debe estar consciente. Una descripción breve de las más importantes se presenta a continuación.

Suposiciones: organización. El adjetivo lineal se usa para describir la relación en dos

1.- Proporcionalidad: La contribución individual que una variable Xj aporta a la función objetivo es C,X, y al consumo del recurso en la "i-ésima" restricción es aijXj. La proporcionalidad implica que, si por ejemplo, Xj es duplicada en su valor, también se duplicarán en la misma proporción sus contribuciones tanto al objetivo como a las restricciones. Por tanto se supone que no existe ahorros o costos extra por el uso adicional de la variable X,.

Cabe mencionar, que cuando se trabaje con un problema en donde se tienen economías de escala, sólo es necesario agregar algunas restricciones adicionales al modelo general para cumplir con la suposición de proporcionalidad.

2.- Aditividad: Establece que la entrad y la salida de un recurso en particular al conjunto de actividades, deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los recursos y no los crean o destruyen. Por ejemplo, suponga que en un departamento de ensamblado se disponen de 40 horas-hombre, mediante está suposición se debe poder explicar mediante los niveles de fabricación de X producto el consumo de este tiempo, incluyendo la posibilidad de horas en ocio.

Esta suposición garantiza que la contribución total tanto a la función objetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las contribuciones individuales. Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad debe recurrirse a otra técnica de programación matemática, dependiendo de cada caso en particular.

3.- Divisibilidad: Significa que las variables de decisión pueden ser divididas a cualquier nivel fraccionario, de tal manera que puedan tomarse valores no-enteros. Si en un problema dado las variables sólo pueden tomar valores enteros, es necesario aplicar una herramienta más sofisticada que la P.L., llamada programación lineal entera. Si las suposiciones de proporcionalidad y aditivita son combinadas se llega a la linealidad. Por tanto puede decirse que la linealidad y la divisibilidad son las suposiciones más importantes del modelo general de P.L. Cuando no sea posible construir un modelo lineal, debe recurrirse a otra técnica llamada programación no-lineal, cuyo enfoque está fundamentado en la P.L. a tal grado, que ésta ha sido aplicad con gran éxito en la obtención de soluciones aproximadas a problemas de programación no-lineal.

Aplicaciones de optimaciòn lineal

El problema de la planificación de la producción:

Pretende planificar la producción de una empresa de acuerdo con las materias primas disponibles para obtener máximos beneficios.

Optimización de Portafolios de inversiòn:

Al tiempo t = 0 se tiene un monto M que se desea invertir a una semana en un portafolio de inversión, integrado con acciones de n empresas. Se tiene como datos los precios diarios de cada una de las acciones en los tres meses previos a t = 0. El número de acciones de cada empresa se deben determinar de tal forma que el riesgo del portafolio sea mínimo y su rendimiento semanal sea igual o mayor a una r ∗ dada. Para tener una mejor idea del problema, revisemos algunos conceptos de finanzas. Un monto M0 que se invierte en el banco a un interés r anual, al término de un año se convierte en un monto M1 igual a M1 = M0 + rM0 = (1 + r)M0 Observemos que r = M1−M0 M0 es la ganancia relativa, se le conoce como el rendimiento de la inversión, y en el caso de los depósitos a plazo fijo coincide con la tasa de interés. En el caso de las acciones, como de otros activos financieros, el rendimiento durante un periodo de tiempo, se define por las variaciones relativas del precio del activo.

El problema de la dieta.

Trata de determinar los alimentos que deben incluirse en una dieta para asegurar la nutrición necesaria y a la vez minimizar el coste.

Planeaciòn agregada

La planeaciòn agregada se puede formular dentro de un marco de referencia de la programaciòn lineal. Entonces el procedimiento de programaciòn lineal identifica el plan òptimo para minimizar los costos. Este plan identifica el nùmero de unidades de producciòn que deben de ser producidas cuàntos turnos deben operar en las instalaciones de producciòn, y cuàntas unidades de inventario deben de acumularse en cada periodo.

El problema del transporte.

Trata de organizar el reparto de cualquier tipo de mercancías con un coste mínimo de tiempo, de dinero o de riesgo (por ejemplo,

...