INTRODUCCION A LOS DISEÑOS FACTORIALES

Estadística II

Unidad 4

Introducción a los diseños factoriales.

4.1 Conceptos básicos en diseños factoriales.

Diseños de experimentos clásicos.

En el capítulo 3 se expuso el diseño de experimentos más sencillo, el modelo completamente aleatorizado, que tiene un factor tratamiento. Con el fin de reducir la variabilidad residual de este modelo se puede introducir en el mismo un factor-bloque para obtener el modelo de diseño en bloques completamente aleatorizados, primer modelo que se estudia en este capítulo. El siguiente modelo, un poco más complejo, es el modelo con dos factores tratamiento entre los que puede haber interacción. El estudio de estos modelos es fácilmente generalizable a modelos con más factores tratamiento y factores bloque. El último modelo que se estudia en este capítulo es el diseño fraccional de cuadrado latino, que es un buen ejemplo de diseño fraccional.

Concepto de bloque.

Al estudiar la influencia de un factor-tratamiento en una variable de interés puede ser importante eliminar (controlar) estadísticamente la influencia de un factor que puede influir en la variable respuesta. Para ello se utiliza el concepto de bloque, que se basa en seleccionar niveles de esta variable y aplicar en cada uno de ellos todos los niveles del factor principal, de esta forma disminuye la variabilidad residual o no explicada.

Por tanto, un factor-bloque es un factor cuyo control puede reducir significativamente la variabilidad no explicada y que no interacciona con los factores principales.

"Bloquear un experimento consiste en distribuir las unidades experimentales en subgrupos tales que unidades experimentales pertenecientes a un mismo subgrupo deben ser similares y pueden ser analizadas en condiciones experimentales semejantes, en tanto que unidades experimentales ubicadas en subgrupos distintos darán lugar probablemente a respuestas diferentes aún cuando sean asignadas a un mismo tratamiento. Cada uno de estos conjuntos de unidades experimentales similares se denomina bloque."

Un diseño en bloques es apropiado cuando el objetivo del experimento es comparar los efectos de diferentes tratamientos promediados sobre un rango de condiciones experimentales distintas. Con los modelos de diseño de experimentos en bloques se quiere conseguir dos cosas:

1. evitar que grandes diferencias entre las unidades experimentales enmascaren diferencias reales entre los tratamientos,

2. medir los efectos de los tratamientos en condiciones experimentales distintas.

La eficacia de este diseño depende de los efectos de los bloques. Si éstos son pequeños, es más eficaz el diseño completamente aleatorio ya que el denominador en la comparación de tratamientos tiene menos grados de libertad. Sin embargo si los bloques influyen es mucho mejor y más eficaz este modelo, ya que disminuye la variabilidad no explicada. Por ello, es mejor estudiar primero el modelo de bloques aleatorizados y, si los bloques no influyen, se pasa fácilmente al modelo de un solo factor sumando en la tabla ANOVA la fila del factor bloque con la de la variabilidad residual.

En la mayor parte de los contrastes de hipótesis y significación o reglas de decisión, considerados en los temas de estadística precedentes requieren varias suposiciones acerca de la distribución de la población cuyas muestras se analizan. En la práctica aparecen situaciones en las que tales requisitos no están justificados, como es el caso de una población fuertemente asimétrica. A causa de ello, los estadísticos han creado varios contrastes y métodos que son independientes de las distribuciones de la población y de los parámetros asociados. Esto se llama contraste o test no paramétricos.

Los test no paramétricos se pueden usar como abreviaciones de contraste más complicados. Son especialmente útiles cuando se trata con datos no numéricos, por ejemplo, cuando los consumidores colocan productos por orden de preferencia.

4.2 El test de los signos.

Consideremos los datos de la siguiente tabla, que indica los números de tuercas defectuosas producidas por dos tipos de máquinas I y II, en 12 días consecutivos y que supone que ambas máquinas tienen la misma producción diaria. Deseamos contrastar la hipótesis Ho de que no hay diferencia entre las máquinas: que las diferencias observadas se deben simplemente al azar, lo que equivale a decir que las muestras proceden de la misma población.

Un sencillo test no paramétrico en este caso de muestras emparejadas lo proporciona el test de los signos, que consiste en tomar la diferencia entre los números de tuercas defectuosas cada día y escribir el signo de esa diferencia; por ejemplo, para el primer día se tiene 47 – 47, que es negativo. De este modo se obtiene la secuencia de los signos

- - + - - - + - + - - - (o sea, tres + y nueve -). Ahora bien, si fuese tan probable obtener + como -, esperaríamos seis + y seis -. El contraste de H equivale al de si una moneda es buena sabiendo que en 12 tiradas han salido 3 caras (+) y 9 cruces (-). Ello involucra a la distribución binomial. El bloque muestra que mediante un contraste de dos colas con la distribución binomial al nivel de significación 0.05, no podemos rechazar Ho; esto es, no hay diferencias entre las máquinas a ese nivel.

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Máquina I 47 56 54 49 36 48 51 38 61 49 56 52

Máquina II 71 63 45 64 50 55 42 46 53 57 75 60

Nota 1: Si un día las máquinas producen el mismo número de tuercas defectuosas, aparecerá una diferencia cero en la secuencia (1). En tal caso podemos omitir ese par de valores muéstrales y utilizar 11 en vez de 12 observaciones.

Nota 2. Se puede usar también una aproximación normal a la distribución binomial, mediante corrección por continuidad.

Aunque el test de los signos es parcialmente útil para muestras emparejadas, como en la tabla se muestra, se puede usar también en problemas con una sola muestra.

4.3 El U-test de Mann- Whitney

Consideremos la siguiente tabla, que da las resistencias de cables fabricados con dos aleaciones distintas, I y II. En esta tabla tenemos dos muestras: 8 cables de aleación I y 10 de la II. Queremos decidir si hay o no diferencias entre las muestras, o sea, si proceden o no de una misma población. Si bien este bloque se puede atacar con el contraste t, es conveniente

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