METODO DE MAXIMOS Y MINIMOS DE FERMAT

METODO DE MAXIMOS Y MINIMOS DE FERMAT

Por: juan José Uribe, Daniel Caicedo

Tomado de: Revista Lasallista de Investigación

El texto muestra una breve biografía del autor Fermat, en adición a esta se demuestran los aportes realizados por el autor, entre los cuales se encuentra el método de máximos y mínimos y la explicación detallada de cómo funciona el método

Fermat propone la obtención de los máximos y mínimos mediante una serie de pasos:

Teoría: la teoría de máximos y mínimos consiste por lo menos de 2 variables y se deben tener en cuenta los siguientes puntos:

• Se debe tener una incógnita en el problema, independientemente de en qué dimensión se encuentre esta.
• La cantidad máxima o mínima del termino debe ser expresada en términos que pueden ser de cualquier grado.
• La incógnita debe ser sustituida por un (“a”+e)  y se debe expresar la cantidad máxima o mínima en términos de “a” y “e” con términos que pueden ser de cualquier grado.
• Se separan términos semejantes en ambos lados de la igualdad de la función
• Se reducen términos semejantes en ambos lados de la función
• Se divide por el termino resultante para reducir esta expresión
• Se suprimen los términos finales que restan.
• La resolución final dará como resultado un valor “a” que será el máximo o el mínimo.

A continuación, se demuestra un problema.

[pic 1]

Este problema de desarrolla de una manera que es bastante conocida, siendo este un ejemplo básico para la demostración del método de Fermat.  Se tiene que A=B/2 haciendo que: A(A-B) sea un máximo. Para desarrollar el problema paso a paso se realiza de la siguiente manera:

• Se idéntica la incógnita que hay en el problema.
• Teniendo que la cantidad máxima de A es: A(A-B) se desarrolla esta en potencias teniendo: AB-  [pic 2]
• Se sustituye, en la cantidad A(B-A), A por A+E en (1), con lo cual obtenemos (A+E)[B-  ] , al desarrollar en potencias de A y E, da: AB + BE - 2AE -  - ~[pic 3][pic 4][pic 5]

•  AB + BE - 2AE -  - ~ AB -   donde el símbolo “~” está representando la igualdad.[pic 6][pic 7][pic 8]
•  Se eliminan los términos comunes.
• Se dividen todos los términos por E para tener: B - 2A - E~ 0
• Se ignoran los términos en común que tengan E para tener la ecuación así: B - 2A ~ 0
• Las cantidades restantes se hacen iguales para obtener B - 2A = 0
• Resolviendo esta última ecuación se obtiene el máximo.

 Según es explicado por Fermat en un documento del siglo XVII el procedimiento para calcular máximos y mínimos se le ocurrió cuando al observar que , si el segmento de longitud B es dividido por un punto P en dos partes de longitudes A y B-A, entonces hay en general dos posiciones de P para las cuales el producto A(B-A) es igual a una cantidad dada Z. y este el procedimiento  que se usa hoy en día.

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