Maximos, Minimos Y Funciones

1.Se dice que una función z= f(x, y) tiene un Máximo Local en el punto (x0, y0), esto es cuando x= x0 y y= y0, si para todo punto x, y en el plano que este lo suficientemente cercano a (xo,y0)se tiene:

F(x0,y0) ≥ f(x, y)

Para un Mínimo Local, remplazamos en la ecuación anterior, ≥ por ≤

F(x0,y0) ≤ f(x, y)

Aplicación de máximos y mínimos:

Se pueden utilizar para cuando se quiere obtener variables como la utilidad total, la utilidad máxima y cuando se quiere conocer el volumen de producción necesario para llegar a esto.

Ejemplo:

Una empresa vende todas las unidades que produce a $4 c/u el costo total de la empresa por producir x unidades esta dado por la siguiente expresión.

C= 50+1.3x+0.001x3

Escribir la expresión para la utilidad total.

Determinar el volumen de la producción x de modo que la utilidad sea máxima.

U = R – C

U = 4x-(50+ 1.3x + 0.001x2)

U (x) = 4x-50-1.3x-0.001x2

U (x)= 2.7x-0.001x2-56

U’ (x)=2.7-0.002x = 0

x= 2.7/0.002 = 1350

U(1350) = 2.7 (1350)-0.001 (1350)2 -50

U (1350) = 1772.5

Aquí se muestra un ejemplo de como se ven gráficamente los máximos y mínimos locales

http://matecoucentral.blogspot.mx/2010/05/maximos-y-minimos-en-la-economia.html

2.Los gastos generales mensuales del fabricante de cierta mercancía ascienden a $ y el costo del material es de por unidad. Si se fabrican al mes no más de unidades, el costo de la mano de obra es de por unidad, pero por cada unidad extra el fabricante debe pagar tiempo y medio de mano de obra. El fabricante puede vender unidades al mes a $ cada una y estima que las ventas mensuales aumentarían en por cada reducción del precio de .

Encuentre:

(a) la función de costo total;

(b) la función precio;

(c) el numero de unidades que se deben producir al mes para obtener la máxima utilidad.

Sea el número de unidades que se fabrican al mes.

(a) La función de costo es:

Simplificando:

(b) Aquí el enunciado es algo confuso. Entiendo que si produce menos de unidades las vende todas a la unidad. Si se pasa de por cada unidades en que se pase debe de reducir el precio de venta en , pero no estoy seguro si esto se hace de manera continua o discreta. Es decir ¿que pasa si queremos vender unidades?. Supondré que se hace de manera continua (aunque debieras de aclarar esto con quien puso el problema), es decir, si se quieren vender unidades se reduce el precio .

(c) La función utilidad es:

La cosa se reduce ahora a maximizar cada una de

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