Maximos Y Minimos

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Muchas de las aplicaciones importantes de derivadas incluyen encontrar los valores máximo y mínimo de una función particular. Por ejemplo, la utilidad que obtiene un fabricante depende del precio que cobra por el producto y el fabricante está interesado en conocer el precio que hace que su ganancia sea máxima. El precio óptimo (o mejor precio) se obtiene por medio de un proceso llamado maximización u optimización de la función de utilidad.

DEFINICIÓN:

(a) Una función f(x) se dice que tiene un máximo local en x = c si f(c) > f(x) para toda x suficientemente cerca de c.

Así los puntos P y Q en las gráficas siguientes corresponden a máximos locales de las funciones correspondientes.

y y

P

O

Y = f(x) y = f(x)

0 x1 c x2 x 0 x1 c x2 x

(b) Una función f(x) se dice que tiene un mínimo local en x = c si f(c) < f(x) para toda x suficientemente cerca de c.

(c) El término extremo se utiliza para denotar un máximo local o bien a un mínimo local.

Una función puede tener más de un máximo local y más de un mínimo local.

y y

y = f(x)

A B

y = f(x)

0 x1 c x2 x 0 x1 c x2 x

(a) (b)

y

G

E

C F

D

A

B

0 x

(c)

Un valor máximo o mínimo (locales) de una función es la ordenada (coordenada y) del punto en el que la gráfica tiene un máximo o mínimo local. Un valor mínimo local de una función puede ser mayor que un valor máximo local.

DEFINICIÓN: El valor x = c se denomina punto crítico para una función continua f si f(c) está bien definida y si o bien f’(c) = 0 o f’(x) no existe en x = c.

EJEMPLO:

Determine los puntos críticos de la función f(x) = x3(2x3 – 3x)

Solución:

Tenemos f(x) = 2x6 – 3x4. Diferenciando obtenemos

f’(x) = 12x5 – 12x3 = 12x3(x2 – 1)

Es claro que f’(x) existe para toda x, de modo que los únicos puntos críticos son aquellos en los que f’(x) se hace cero:

f’(x) = 12x3(x2 – 1) = 0

Así que x3 = 0 o x2 – 1 = 0

De modo que los puntos críticos son x = 0, ±1.

PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA

No todos los puntos críticos son extremos locales. El teorema siguiente proporciona la primera de las dos pruebas que pueden utilizarse para decidir si un punto crítico dado es un máximo local o mínimo local o ninguno de éstos.

PASOS A SEGUIR:

PASO 1: Encuentre f’(x) y determine los puntos críticos, esto es, los puntos en donde f’(x) es cero o no existe.

PASO 2: Los puntos críticos dividen al dominio de f en varios intervalos. En cada intervalo seleccione un punto de prueba y calcule f’(x) en ese punto. Si el valor es positivo, entonces f es una función creciente en todo el intervalo correspondiente. Si el valor de f’(x) en el punto de prueba es negativo, entonces es decreciente en el intervalo entero.

PASO 3: Si f’ es positiva a la izquierda y negativa a la derecha de un punto crítico, entonces ese punto es un máximo local. Si f’ es negativa a la izquierda y positiva a la derecha de un punto crítico, entonces ese punto es un mínimo local. Si f’ tiene el mismo signo en ambos lados de un punto crítico, entonces ese punto no es un extremo local.

EJEMPLO:

Determine los extremos locales de f, en donde f(x) = x4 – 4x3 + 7

Solución:

f’(x) = 4x3 – 12x2 = 4x2 (x – 3)

f’ existe para toda x, así los puntos críticos están dados por f’(x) = 0. Esto es, 4x2(x – 3) = 0, o x =0 y x=3. Estos puntos críticos dividen la recta real en los tres intervalos (-, ∞), (0, 3) y (3, ∞). Como de costumbre, determinamos el signo de f’ en cada intervalo eligiendo un punto de prueba.

Intervalo

Punto de Prueba

f’(x) = 4x2(x – 3)

f (-∞,0) (0, 3) (3, ∞)

-1 1 4

4(-1)2(-1-3) 4(1)2(1-3) 4(4)2(4-3)

= -16<0 = -8<0 = 64>0

Decreciente Decreciente Creciente

En x = 0, f’ es negativa en ambos lados, de modo que x = 0 no es un extremo local. Para x = 3, f’ es negativa a la izquierda (f es decreciente) y positiva a la derecha (f es creciente). Por tanto, x = 3 es un mínimo local de f.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Muchas de las aplicaciones importantes de derivadas

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