LOS MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES

MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES

Profesor: Carlos Mendizábal Jiménez

1. Hallar los valores extremos (máximos y mínimos relativos) de la función:

                                                            f(x,y) = x2 + y2

                                                                                             R: f(0,0) = 0, es un mín.loc.

1. Hallar los extremos relativos de la función:

                                                            f(x,y) = 3x2 – 4xy + 4y2 – 4x +8y + 4

                                                                                             R: f(0,-1) = 0; es un mín.loc.

1. Hallar los valores extremos de la f unción:

                                                            f(x,y) = 4y3 + x2 -12y2 -36y + 2

                                                                                             R: (0,-1) es un punto silla

                                                                                                  f(0,3) = -106 es un mín.loc.

1. Los ingresos semanales totales (en dólares) de Cronosonic al producir y vender sus

sistemas de sonido están dados por:

                                        I(x,y) = -[pic 1]

donde x denota el número de unidades ensambladas e y indica el número de paquetes producidos y vendidos por semana. El costo total por semana que se puede atribuir a la producción de estos sistemas es:

                                         C(x,y) = 180x + 140y +5000

dólares, donde x e y tienen el mismo significado anterior. Determinar el número de unidades ensambladas y de paquetes que Cronosonic debe producir cada semana para maximizar la ganancia: U(x,y).

                                                                                 R: U(208,64) = 10608 dólares.

1. Hay que construir una caja rectangular abierta con un volumen de 108 [pic 2], u unidad de longitud, a partir de una hoja de metal. Encuentre las dimensiones de la caja si la cantidad por utilizar en su construcción debe ser mínima.

                                                                                             R: 6; 6 y 3[pic 3]

1. Determine los valores extremos, si procede, de cada función:

1. f(x,y) = 1 – x2 – y2                                       R: f(0,0) = 1; máx.loc.
2. f(x,y) = x2 – y2 -2x + 4y +1                         R: f(1,2) = 4; punto silla
3. f(x,y) = x2 +2xy + y2 – 4x + 8y – 1             R: f(8,-6) = -41
4. f(x,y) = 2x3 + y2 – 9x2 – 4y + 12x – 2         R: f(1,2) = -1; punto silla

                                                                                                 f(2,2) = -2; mín.loc.

1. f(x,y) = x3 + y2 – 2xy + 7x – 8y + 4            R: [pic 4]; silla

                                                                                                 [pic 5]; mín.loc.

1. f(x,y) = x3 – 3xy + y3 – 2                            R: f(0,0) = -2; punto silla

                                                                                                f(1,1) = -3; mín.loc.

-2-

                6.7. [pic 6]                                   R: f(2,1) = 6; mín.loc.

                6.8. [pic 7]                                        R: f(0,0) = -1; punto silla

                6.9. [pic 8]                                           R: f(0,0) = 1; mín.loc.

                6.10. f(x,y) = ln(1 + x2+ y2)                                R: f(0,0) = 0; mín.loc.

MAXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS

1. Una empresa desea construir un tanque rectangular con capacidad de 1500 pies cúbicos de agua. La base y las paredes verticales deberán ser de concreto y la tapa de acero. Si el costo del acero es el doble por unidad de área que el de concreto,

determine las dimensiones del tanque que minimizan el costo total de construcción.

                                                                                              R: 10; 10; 15 pies.

1. (Decisiones sobre inversiones en mano de obra y capital). Empleado L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades

de su producto, con: [pic 9].

Le cuesta a la empresa U.S$ 100 por cada unidad de mano de obra y U.S$ 300 por

cada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de U.S$45000

para propósitos de producción. Determine las unidades de mano de obra y de capital que la empresa debería utilizar con objeto de maximizar su producción.

                                                                                R: 300 unidades de mano de obra

                                                                                     50 unidades de capital

3. Una compañía puede destinar su planta a la elaboración de dos tipos de productos,

    A y B. Obtiene una utilidad de 4 dólares por unidad de A y de 6 dólares por unidad de

    B. Los números de unidades de los dos tipos que puede producir mediante la planta

    están restringidos por la ecuación de transformación del producto:

                                                      x2 + y2 + 2x + 4y – 4 = 0

    con x e y los números de unidades (en miles) de A y B, respectivamente, producidas por

    semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse para maximizar la

    utilidad.

                                                                                        R: 664 unidades de A por semana

                                                                                             496 unidades de B por semana