Metodo De Las Imagenes

MÉTODO DE LAS IMÁGENES

El método de las imágenes simplifica la resolución de ciertos problemas de electrostática con condiciones en la frontera reemplazando a la ecuación de Poisson.

Este método hace uso del teorema de unicidad el cual indica que la solución de un problema electrostático que satisface un conjunto de condiciones en la frontera es la única solución posible.

Permite hallar las distribuciones de potencial sustituyendo las superficies limitadoras por cargas imagen ubicadas adecuadamente.

Resuelve problemas de potencial en los que aparece una fuente de carga puntual o lineal, frente a contornos conductores sencillos. Se sustituye el conductor por una o más fuentes puntuales denominadas “cargas imagen”.

Cuando se coloca la carga imagen, se la debe colocar de tal manera que la superficie conductora sea una superficie equipotencial o con potencial igual a cero.

Ej:

EJEMPLO 1:

Una carga positiva Q está situada a una distancia d sobre un gran plano conductor conectado a tierra. Calcule:

El potencial en un punto arbitrario P(x,y,z) de la región y>0.

La distribución de carga inducida sobre la superficie del plano conductor.

SOLUCIÓN:

a)

Sustituir el plano conductor por una carga imagen puntual –Q en y = -d

Calcular el potencial en un punto P(x,y,z) debido a las dos cargas:

V(x,y,z)= Q/(4πϵ_0 )(1/R_1 - 1/R_2 )

R_1= √(x^2+〖(y-d)〗^2+z^2 ) Y R_2=√(x^2+〖(y+d)〗^2+z^2 )

V(x,y,z)= Q/(4πϵ_0 )[1/√(x^2+〖(y-d)〗^2+z^2 )- 1/√(x^2+〖(y+d)〗^2+z^2 )]

b)

La densidad superficial de carga inducida se calcula a partir de:

ρ_s= ϵ_0 E_n

E_n es la componente normal del campo E sobre la superficie del conductor.

Entonces la densidad de carga inducida sobre la superficie conductora del problema es:

ρ_s= ϵ_0 ├ E_y ┤|_(y=0)

E_y es igual a:

E_y=- ∂V/∂y

E_y =-Q/(4πϵ_0 )[-(y-d)/〖〖(x〗^2+〖(y-d)〗^2+z^2)〗^(3/2) - (y+d)/〖〖(x〗^2+〖(y+d)〗^2+z^2)〗^(3/2) ]

Reemplazando E_y en ρ_s

ρ_s=-Qd/〖〖2π(x〗^2+d^2+z^2)〗^(3/2)

EJEMPLO 2:

Una línea de carga ρ_l[C/m] está situada a una distancia d del eje de un cilindro circular conductor paralelo de radio a, tanto la línea de carga como el cilindro conductor son infinitamente largos. Determinar la distancia d_i medida desde el centro del cilindro para colocar la carga imagen, de manera que la superficie del cilindro sea equipotencial.

SOLUCIÓN:

La imagen debe ser una línea paralela, dentro del cilindro, con densidad de carga lineal ρ_i opuesta a ρ_l, para que la superficie cilíndrica en r = a sea equipotencial.

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