Mezclas Con Ecuaciones

TRABAJO COLABORATIVO 1

APORTE FASE 1

TUTOR:

MIGUEL ANDRES HEREDIA

ESTUDIANTE:

CRISTIAN DUQUE JIMENEZ

JAIRO PRIETO LONDOÑO

RAÚL DARÍO TORRES SÁNCHEZ

ECUACIONES DIFERENCIALES

Grupo: 100412_139

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA.

INGENIERIA EN TELECOMUNICACIONES

CEAD PITALITO

SEPTIEMBRE 19 DE 2014

SOLUCION

Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales

Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

C. Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de la ecuación:

R: Esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden. Lineal porque vemos que no hay ninguna función que esté usando y (como seno, coseno, logaritmos, etc), ni tampoco tiene exponentes distinto a 1 en la variable ni en sus derivadas. Es de segundo orden porque la mayor derivada que aparece es la segunda derivada de y con respecto a x (d2y/dx2)

D. (y-X) dx – 4 Xdy = 0

Rta/ La ecuación diferencial es lineal y es de primer orden.

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden

B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

R: Las ecuaciones diferenciales exactas son de la forma . Si es una E.D. exacta, al derivar M con respecto a y es igual a derivar N con respecto a x. Vamos a comprobarlo:

Como podemos ver, la derivada de M con respecto a y es 1 y la de N con respecto a x es -1, por lo que esta ecuación diferencial no es exacta.

C. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

dy/dx+2xy=x

Primero se resuelve la ecuación;

dy/dx=x-2xy →dy =(x-2xy)dx

dy-(x-2xy)dx=0 →dy+ (2xy-x)dx=0

Siendo;

Mx=2xy-x

Ny=1

∂Mx/∂y=2x , ∂Ny/∂x=0

Verificamos si cumple primer caso;

(∂Mx/∂y-∂Ny/∂x)/Ny=R(x)→ (2x-0)/1=R(x)

Verificado que si se cumple, ahora utilizamos el factor de integración para esta ecuación que está dada por;

〖μ=e〗^∫▒〖R(x)dx〗

μ=e^∫▒2xdx=e^(x^2 )

La ecuación equivalente quedaría descrita como;

e^(x^2 ) dy+(2xye^(x^2 )-xe^(x^2 ) )dx=0

Donde;

Mx=2xye^(x^2 )-xe^(x^2 ) , Ny=e^(x^2 )

∂Mx/∂y=2xe^(x^2 ) , ∂Ny/∂x=2xe^(x^2 )

Por lo que, ∂Mx/∂y=∂Ny/∂x , la ecuación es exacta, entonces proseguimos a hallar una función φ_((x,y)), tal que Mx=(∂φ_((x,y)))/∂x y Ny=(∂φ_((x,y)))/∂y.

φ_((x,y))=∫▒〖e^(x^2 ) dy〗=ye^(x^2 )+f(x),

Como Mx=(∂φ_((x,y)))/∂x , tenemos que;

2xye^(x^2 )+f^' (x)=2xye^(x^2 )-xe^(x^2 ) →f^' (x)=-xe^(x^2 )

f(x)=∫▒〖-xe^(x^2 ) dx 〗= -e^(x^2 )/2 → φ_((x,y) )=ye^(x^2 )- e^(x^2 )/2

Si expresamos en términos generales el resultado de una ecuación exacta obtenemos;

ye^(x^2 )- e^(x^2 )/2=C.

2. Una fábrica está situada cerca de un

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