Numeros Reales En Calculo

0.1 Números reales

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son

√ 2 = 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . . e = 2.718281828459045 . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí.

Número racional

Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).

En matemática, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q(o bien , en Blackboard bold) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros ( ), y es un subconjunto de losnúmeros reales ( ).

Escritura decimal

[editar]Representación racional de los números decimales

Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puede expresarse como número racional de la siguiente manera:

 Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.

 Ejemplo:

 Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.

 Ejemplo:

 Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia entre y , donde es el número escrito sin la coma, y es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperíodo.

 Ejemplo: Sea el número entonces y , por lo que la fracción correspondiente será , es decir: .

[editar]Desarrollo decimal de los números racionales

El valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que sólo puede ser de tres tipos:

 Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal».

 Ejemplo:

 Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

 Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

Nota: lo mismo aplica para el desarrollo decimal de un número racional en bases distintas de diez.

[editar]Número racional en otras bases

En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base,

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