Programación y métodos numéricos REPORTE PRÁCTICA 2

Universidad Politécnica de Juventino Rosas[pic 1]

Programación y métodos numéricos

REPORTE

PRÁCTICA 2

SEGUNDO PARCIAL

Docente: Ing. Gerson Díaz Olguín

Alumno: Aarón Alejandro Álvarez Peralta

17/MARZO/2017

INTRODUCCIÓN

Raíces de ecuaciones

Las raíces reales de una ecuación son los valores que adquiere la variable  independiente x, para satisfacer la igualdad.

f(x)=0

Existen dos tipos de aproximaciones para localizar los valores de las raíces. La primera presupone el conocimiento de un intervalo que encierra el valor de la raíz, lo que garantiza la convergencia del método. La segunda incluye aquellos métodos en los que a partir de uno o más valores iniciales se busca un acercamiento hacia la raíz.

Métodos cerrados

Estos métodos aprovechan el hecho de que típicamente una función cambia de signo en intervalo que encierra a la raíz, por lo que al garantizar el cambio de signo de una función en un intervalo, se puede garantizar la existencia de una raíz.

Método de bisección

Uno de los métodos más sencillos de búsqueda de raíces por medio de la aplicación de algoritmos números, es el método de bisección. Este método consiste en tomar un intervalo de valores donde al evaluar la función en los extremos se presenta un cambio de signo, con lo cual se asegura que exista una raíz por lo menos dentro del intervalo. A continuación se calcula el punto medio del intervalo, por lo que, de esta manera el intervalo inicial se divide en dos nuevos subintervalos más pequeños. Se repite el análisis del cambio de signo para desechar el subintervalo que no contiene la raíz.

Es importante señalar que ese método puede requerir de muchas iteraciones, ya que no se considera en ningún momento el hecho de que algún extremos del intervalo este próximo a la raíz, con lo que el procedimiento se vuelve demasiado lento.

En general si f(x) es real y continua entre el intervalo [a,b] y f(a) y f(b) tienen signos  opuestos, entonces existe pal menos una raíz real entre a y b. La posición de la raíz determina situándola en el punto medio del subintervalo en el cual ocurre un cambio de signo.

Algoritmo

1.- Seleccionar los valores iniciales de a y b y evaluar f(a) y f(b), de manera que la función en ese intervalo cambie de signo. También se establece una tolerancia de error.

2.- Calcular la primera aproximación por medio de la ecuación (1).

                                               XR=(a+b)/2                            (1)

3.- Realizar las siguientes evaluaciones para determinar si se encontró la raíz o para saber en que subintervalo se localiza. Ec.2

Si f(a)*f(XR)=0  La raíz es igual a XR y se terminan los cálculos.

Si f(a)*f(XR)>0  La raíz se encuentra entre XR y b. Hacer a=XR y pasar al punto 4.

Si f(a)*f(XR)<0  La raíz se encuentre entre XR y a. Hacer b=XR y pasar al punto 4.

4.- Calcular el nuevo valor de XR con la ecuación (1).

5.- Calcular el valor aproximado, con la ecuación (3), para decidir si la nueva aproximación cumple con el criterio de error establecido. Si es así, los cálculos terminan, en caso contrario se regresa al paso 3.

[pic 2][pic 3]

XRactual-XRanterior

ep=        XRactual               *100[pic 4]

DESARROLLO

1.- Abriremos el programa de Excel y una vez ahí se colocará la ecuación a realizar. En este caso la ecuación es f(x) = x5+ 2x4− 6x3+ 2x − 3

2.- Crearemos una tabla donde evaluaremos los valores colocados en un fila x que será representada en f(x). Esta tabla será utilizada para graficar aquellas evaluaciones que nos permitirán conocer el lugar de las intersecciones necesarias.  

   [pic 5]    [pic 6]

Fig. 1 Evaluación de la               Fig.2 Gráfica que representa el valor de x

             función                                     evaluado en la función

3.- En una nueva hoja realizaremos una tabla para la obtención del valor de las raíces que hemos deducido que existen por los cambios de signo mostrados en la tabla de la Fig.1. Comenzaremos por colocar los encabezados necesarios para realizar nuestros cálculos como los mostrados en la Fig.3.

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Fig.3

4.- Comenzaremos a llenar la tabla con el número de iteraciones, este número, al no saber exactamente la cantidad necesaria para llegar al objetivo, podemos llenar solo unas cuantas celdas.

5.- La siguientes dos columnas corresponden al valor de nuestras variables de x en la tabla de la Fig.1 donde el valor representa el intervalo donde se puede encontrar la raíz. Para la segunda hoja a será igual a -4 y b igual a -3 que representa el valor de x en donde f(x) cambia de signo.

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